Geometria Analítica – Cordas

O segmento AB é uma das cordas da circunferência de centro C(2;2). Se M(1;1) é o ponto médio de AB e se um dos pontos de interseção da reta CM com a circunferência é D(0;0). Quais os pontos das extremidades de AB?


Veja o desenho que ilustra a situação acima:

faq11-01.gif (2047 bytes)

Olhando para este desenho, podemos ver que o raio da circunferência será igual à distância do centro (2; 2) ao ponto D(0; 0).

Utilizando a fórmula da distância entre dois pontos, temos:

[tex3]\textrm{raio}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/tex3]

Agora vamos substituir pelos nossos pontos:

[tex3]\textrm{raio}=\sqrt{(0-2)^2+(0-2)^2}[/tex3]

[tex3]\textrm{raio}=\sqrt{8}[/tex3]

Este é o valor do raio da circunferência, agora vamos colocar esta informação na figura e “mexer mais uns pauzinhos”.

Note que a distância do ponto C ao ponto B é justamente o raio da circunferência, assim como a distância do ponto C ao ponto A. Veja a figura abaixo.

faq11-04.gif (1927 bytes)

Sabendo que a reta CD é a mediatriz do segmento AB, portanto, está a 90o do mesmo (como no desenho), e por isso conseguimos deduzir a equação da reta AB.

Primeiro vamos olhar para a reta CD. Sabendo as coordenadas dos pontos C e D, conseguimos deduzir que o coeficiente linear da reta CD é zero, pois passa pela origem (0; 0). Usando a fórmula do coeficiente angular de uma reta, calculamos a equação da reta CD.

[tex3]\textrm{coeficiente angular}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}[/tex3]

Substituindo pelos nossos valores:

[tex3]\textrm{coeficiente angular}=\frac{0-2}{0-2}=1[/tex3]

Portanto, a equação da reta CD é Y=X. E como a reta AB está perpendicular à CD terá a equação da seguinte forma:

Y = -X + b

Onde “b” é o coeficiente linear da equação que ainda não sabemos, mas sabemos que esta reta irá passar pelo ponto M(1; 1), substituindo estas coordenadas na equação, temos:

1 = -1 + b
b = 2

Pronto, a equação da reta AB é Y=-X+2.
Portanto, o ponto A e o ponto B terão coordenadas do tipo

A (Xa; Ya)             B (Xb; Yb)

Sabendo que Y=-X+2, temos

A (Xa; -Xa+2)             B (Xb; -Xb+2)

Sabemos que ambos os pontos estarão a uma distância de [tex3]\sqrt{8}[/tex3] do C(2; 2). Então vamos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos para podermos deduzir as coordenadas dos pontos A e B.

[tex3]d(B\rightarrow C)=\sqrt{(X_b-2)^2+(-X_b+2-2)^2}[/tex3]

[tex3]\sqrt 8 = \sqrt{(X_b)^2-4X_b+4+(X_b)^2}[/tex3]

Vamos elevar os dois lados da igualdade ao quadrado para tirarmos as raízes quadradas.

[tex3]\left(\sqrt 8\right)^2 = \left(\sqrt{(X_b)^2-4X_b+4+(X_b)^2}\right)^2[/tex3]

[tex3]2(X_b)^2-4X_b-4=0[/tex3]

Chegamos em uma equação do segundo grau. Vamos aplicar Bhaskara e achar suas raízes.

[tex3]X’=1+\sqrt 3[/tex3]

[tex3]X”=1-\sqrt 3[/tex3]

Aplicando Bhaskara, achamos estes pontos como raízes, ou seja, como coordenadas X dos pontos que estão a uma distância de [tex3]\sqrt{8}[/tex3] do centro. Portanto, são as abscissas (coordenadas X) dos pontos A e B.Agora, para achar qual a coordenada Y de cada um deles, simplesmente substituímos estes valores na equação da reta AB que já sabemos: Y = – X + 2

[tex3]X’=1+\sqrt 3[/tex3]

[tex3]Y’=-(1+\sqrt 3)+2=1-\sqrt 3[/tex3]

[tex3]X”=1-\sqrt 3[/tex3]

[tex3]Y”=-(1-\sqrt 3)+2=q+\sqrt 3[/tex3]

Portanto, os pontos A e B têm as seguintes coordenadas

[tex3]\boxed{\boxed{A(1+\sqrt 3;\,1-\sqrt 3)}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{B(1-\sqrt 3;\,1+\sqrt 3)}}[/tex3]

Pronto, está aí a solução para este exercício!!!! 🙂