Geometria Analítica – Circunferência

(OBM 1999 – 1a Fase Nível 3 ) Dois irmãos herdaram o terreno ABC com a forma de um triângulo retângulo em A, e com o cateto AB de 84m de comprimento. Eles resolveram dividir o terreno em duas partes de mesma área, por um muro MN paralelo a AC como mostra a figura abaixo. Assinale a opção que contém o valor mais aproximado do segmento BM.

geoplana0201.gif (1406 bytes)

(A) 55m
(B) 57m
(C) 59m
(D) 61m
(E) 63m


 

Veja que os triângulos ABC e MBN são semelhantes, portanto, podemos dizer que a razão de suas alturas (ao quadrado) é igual à razão de suas áreas.

Vamos dizer que o triângulo ABC tem área “A”, se a parede MN dividiu em duas partes de áreas iguais, a área do triângulo MBN valerá A/2 (metade da área total). A razão dita anteriormente fica assim:

[tex3]\frac{84^2}{(\overline{BM})^2}=\frac{A}{\frac{A}{2}}[/tex3]

Calculando, temos:

[tex3]\frac{84^2\cdot A}{2}=A\cdot(\overline{BM})^2[/tex3]

Podemos cortar os fatores “A” dos dois lados da equação:

[tex3]\frac{84^2}{2}=(\overline{BM})^2[/tex3]

Calculando:

[tex3]\overline{BM}=\frac{84}{\sqrt 2}[/tex3]

Racionalizando, temos:

[tex3]\overline{BM}=\frac{84}{\sqrt 2}\cdot \frac{\sqrt 2}{\sqrt 2}[/tex3]

[tex3]\overline{BM}=42\cdot\sqrt{2}[/tex3]

Lembrando que [tex3]\sqrt 2[/tex3] vale aproximadamente 1,4:

BM = 42 . 1,4
BM = 58,8

Resposta certa, letra “C”