Sabendo que o comprimento do segmento AB da figura abaixo é 12. Qual o valor da área hachurada (desprezando-se as casas após a vírgula)? Utilize
(A) 10
(B) 14
(C) 20
(D) 28
(E) 56
Vamos colocar alguns “incrementos” na figura para melhor podermos calcular:
Vamos chamar o raio do círculo de centro C2 de “R” e o raio do círculo de centro C1 de “r”. Portanto, o raio do círculo maior (de centro C) será (2R + 2r)/2 = R + r
Utilizando a fórmula da área de um círculo, vamos achar a área da círcunferência de centro C e raio = R + r
Area(C) = π(R+r)²
Area(C) = π (R² + 2Rr + r²)
Área(C) = π R² + 2 π Rr + π r²
Agora vamos achar a área do círculo de centro C1:
Área(C1) = πr²
E a área do círculo de centro C2:
Área(C2) = πR²
Portanto, a área hachurada será a área do círculo externo menos as áreas dos dois círculos internos, ou seja
Area(hachurada) = π R² + 2 π Rr + π r² – πR²- πr²
Area(hachurada) = 2 π Rr
Agora devemos olhar para o triângulo CEA.
Se o ponto C é o centro do círculo externo, o segmento CF mede R + r. Como o segmento EF vale 2r, então o segmento CE vale (R + r) – 2r, que resulta CE=R – r.
O segmento CA é o raio do círculo externo, então vale R + r, e o segmento AE é metade do segmento AB, então vale 6. Com isso temos o triângulo retângulo ACE. Aplicando Baskhara temos:
(R + r)² = (R – r)² + 6²
R² + 2Rr + r² = R² – 2Rr + r² + 36
4Rr = 36
Rr = 9
Agora, substituindo este valor na fórmula da Área(hachurada), temos:
Area(hachurada) = 2 π Rr
Area(hachurada) = 2 π 9
Area(hachurada) =18*(22/7)
Area(hachurada) = 56 (Desprezando as casas decimais) Resposta certa, letra “E”