Geo. Analítica – Distância entre Pontos

O ponto (x, 2x) é equidistante dos pontos (3,0) e (-7,0) para:

(A) x = – 2
(B) x = – 5/2
(C) x = ± 2
(D) x = 0
(E) x = 7


Para calcular a distância entre dois pontos, usamos a seguinte fórmula:

[tex3]D=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}[/tex3]

Portanto, a distância do ponto A = (x, 2x) até o ponto B = (3,0) é dado pela equação

[tex3]D(A\rightarrow B)=\sqrt{(x-3)^2+(2x-0)^2}[/tex3]

E a distância do ponto A = (x, 2x) até o ponto C = (-7, 0) é dado pela equação:

[tex3]D(A\rightarrow C)=\sqrt{(x-(-7))^2+(2x-0)^2}[/tex3]

Como as duas distâncias são iguais, podemos igualar estas equações, e resolvê-la:

[tex3]\sqrt{(x-3)^2+(2x-0)^2}=\sqrt{(x-(-7))^2+(2x-0)^2}[/tex3]

Elevamos os dois lados ao quadrado para retirar as raízes

[tex3]\left(\sqrt{(x-3)^2+(2x-0)^2}\right)^2=\left(\sqrt{(x-(-7))^2+(2x-0)^2}\right)^2[/tex3]

Agora podemos cortar as raízes

[tex3](x-3)^2+(2x-0)^2=(x-(-7))^2+(2x-0)^2[/tex3]

Efetuando os quadrados

[tex3]x^2-6x+9+4x^2=x^2+14x+49+4x^2[/tex3]

Efetuando as operações

[tex3]20x=-40[/tex3]

[tex3]x=\frac{-40}{20}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{x=-2}}[/tex3]

Portanto, a resposta certa é a letra “A”