Geo. Analítica – Circunferências

A equação da circunferência que tem como diâmetro a corda comum às circunferências [tex3]x^2+y^2-8x=0[/tex3] e [tex3]x^2+y^2-8y=0[/tex3] é:

(A) [tex3]x^2 + y^2 – 4x – 4y = 0[/tex3]
(B) [tex3]x^2 + y^2 – 4y + 4 = 0[/tex3]
(C) [tex3]x^2 + y^2 + 4x + 4y = 0[/tex3]
(D) [tex3]x^2 + y^2 – 4x + 4 = 0[/tex3]
(E) [tex3]x^2 + y^2 + 4x – 4y = 0[/tex3]


A corda comum à duas circunferências é o segmento formado pelos dois pontos de intersecção destas circunferências, no desenho abaixo o segmento azul.

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Portanto, devemos achar os pontos de intersecção das duas circunferências dadas e calcular o comprimento deste segmento para saber o valor do diâmetro da nova circunferência que é pedida.

Para calcular os pontos de intersecção, devemos resolver o sistema formado pelas duas equações. Veja a seguir:

[tex3]\begin{cases}x^2+y^2-8x=0\\x^2+y^2-8y=0\end{cases}[/tex3]

Agora, para resolver este sistema, iremos proceder da seguinte maneira. Vamos isolar x²+y² na primeira equação e substituir na segunda.

[tex3]x^2+y^2=8x[/tex3]

Agora, substituindo este valor na segunda equação, temos:

[tex3]\begin{array}{c}x^2+y^2-8y=0\\8x-8y=0\\8x=8y\\x=y\end{array}[/tex3]

Portanto, acabamos de descobrir que x=y, então vamos substituir na primeira equação do sistema o valor de x. Então:

[tex3]x^2+y^2-8x=0\textrm{ substituindo}[/tex3]

[tex3]x^2+y^2-8y=0[/tex3]

[tex3]2y^2-8y=0[/tex3]

Chegamos em uma equação do segundo grau. Para resovê-la devemos aplicar Bhaskara. Suas raízes são:

[tex3]y’=0[/tex3]

[tex3]y”=4[/tex3]

Estes são os valores de y dos pontos de intersecção das duas circunferências, mas como sabemos que x=y (através da equação calculada anteriormente) os pontos de intersecção das circunferências são:

[tex3](0,\,0)\textrm{ e }(4,\,4)[/tex3]

Usando a fórmula da distância de dois pontos, vamos calcular o comprimento do diâmetro da circunferência nova

[tex3]d(A\rightarrow B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/tex3]

[tex3]d(A\rightarrow B)=\sqrt{(4-0)^2+(4-0)^2}[/tex3]

[tex3]d(A\rightarrow B)=\sqrt{16+16}[/tex3]

[tex3]d(A\rightarrow B)=\sqrt{32}[/tex3]

Portanto o raio da circunferência será metade deste valor (pois este é o valor do diâmetro), portanto, [tex3]\textrm{raio}=\frac{\sqrt{32}}{2}[/tex3]. Agora só devemos achar as coordenadas do centro da nova circunferência. Iremos utilizar a fórmula do ponto médio, que é:

[tex3]x_m=\frac{x_1+x_2}{2}\textrm{ e }y_m=\frac{y_1+y_2}{2}[/tex3]

Onde [tex3]x_m[/tex3]é a coordenada X do ponto médio e [tex3]y_m[/tex3] é a coordenada Y do ponto médio

Colocando agora nossos valores, temos

[tex3]x_m=\frac{4+0}{2}=2[/tex3]

[tex3]y_m=\frac{4+0}{2}=2[/tex3]

Portanto, o centro da circunferência é (2, 2)
Então a equação desta circunferência será:

[tex3](x-2)^2+(y-2)^2=\left(\frac{\sqrt{32}}{2}\right)^2[/tex3]

[tex3]x^2-4x+4+y^2-4y+4=\frac{32}{4}[/tex3]

[tex3]x^2+y^2-4x-4y+8=8[/tex3]

[tex3]\Large x^2+y^2-4x-4y=0[/tex3]

Resposta certa, letra A