Geo. Analítica – Circunferência

Seja C a circunferência [tex3]x^2+y^2-2x-6y+5=0[/tex3]. Considere em C a corda AB cujo ponto médio é M(2;2). O comprimento de AB é igual a:

(A) [tex3]\sqrt 6[/tex3]
(B) [tex3]2+\sqrt 3[/tex3]
(C) [tex3]\sqrt 5[/tex3]
(D) [tex3]\sqrt 2[/tex3]
(E)
[tex3]4[/tex3]


Analisando a equação da circunferência, vemos que as coordenadas do centro são (1, 3). Lembrando que para calcular o X do centro pega-se o coeficiente da equação que contém “X” e divide-se por (-2), no caso o coeficiente é –2, ao dividir por (–2) resulta 1. Para calcular a coordenada Y do centro, pega-se o coeficiente do termo que possui “Y” na equação e divide-se por (–2) também, no caso o nosso coeficiente de “Y” é –6, ao dividir por (–2) resulta 3.

Utilizando a fórmula do raio de uma circunferência, concluímos que o raio desta circunferência será:

 [tex3]\textrm{Raio}=\sqrt{(X_c)^2+(Y_c)^2-F}[/tex3]

Onde Xc é a coordenada X do centro, Yc é a coordenada Y do centro, e F é o termo independente da equação da circunferência. Substituindo pelos valores, temos:

  [tex3]\textrm{Raio}=\sqrt{1^2+3^2-5}[/tex3]

[tex3]\textrm{Raio}=\sqrt{5}[/tex3]

O ponto (2,2) é o ponto médio de uma corda AB desta circunferência, vamos calcular a distância deste ponto até o centro da circunferência.

A fórmula da distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:

[tex3]\textrm{distância}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/tex3]

Queremos saber a distância entre (2, 2) e (1, 3), substituindo os valores, temos:

[tex3]\textrm{distância}=\sqrt{(1-2)^2+(3-2)^2}[/tex3]

[tex3]\textrm{distância}=\sqrt{1+1}[/tex3]

[tex3]\textrm{distância}=\sqrt{2}[/tex3]

Pronto, temos informações suficientes para resolver o problema, veja o desenho abaixo:

A distância AB que é pedida, nada mais é do que o dobro da medida PB, que podemos calcular utilizando Pitágoras no triânculo PCB, veja que o segmento CB vale [tex3]\sqrt 5[/tex3] pois é exatamente o raio da circunferência. Aplicando Pitágoras, temos:

[tex3](\sqrt 5)^2=(\sqrt 2)^2+\overline{PB}^2[/tex3]

[tex3]5=2+\overline{PB}^2[/tex3]

[tex3]\overline{PB}=\sqrt 3[/tex3]

Como o exercício pede o valor de AB que é o dobro deste valor, a resposta é [tex3]2+\sqrt 3[/tex3].