Funções – Imagem

O conjunto imagem da função trigonométrica [tex3]f(x)=-2\cdot \sen(x)+2\cdot \cos(x)[/tex3]


Esta função é muito difícil de se determinar a imagem, no formato em que se encontra.

Devemos então “transformá-la” para que fique em um formato mais fácil de calcular o que se pede!

A transformação é a seguinte:

[tex3]f(x)=-2\cdot \sen(x)+2\cdot \cos(x)[/tex3]

Vamos começar com a principal jogada desta transformação, multiplicar a função por [tex3]\frac{2\sqrt 2}{2\sqrt 2}[/tex3]. Note que estamos multiplicando por 1 (pois [tex3]\frac{2\sqrt 2}{2\sqrt 2}=1[/tex3]) e isto não altera o valor da função.

[tex3]f(x)=\left[-2\cdot \sen(x)+2\cdot \cos(x)\right]\cdot \frac{2\sqrt 2}{2\sqrt 2}[/tex3]

Agora vamos efetuar a multiplicação:

[tex3]f(x)=-\frac{4\sqrt 2}{2\sqrt 2}\cdot \sen(x)+\frac{4\sqrt 2}{2\sqrt 2}\cdot \cos(x)[/tex3]

Esta parte é um pouco complicada. Vamos colocar o termo [tex3]\frac{4}{\sqrt 2}[/tex3] em evidência:

[tex3]f(x)=\frac{4}{\sqrt 2}\cdot \left[-\frac{\sqrt 2}{2}\cdot \sen(x)+\frac{\sqrt 2}{2}\cdot \cos(x)\right][/tex3]

[tex3]f(x)=\frac{4}{\sqrt 2}\cdot \left[\frac{\sqrt 2}{2}\cdot \cos(x)-\frac{\sqrt 2}{2}\cdot \sen(x)\right][/tex3]

Note que [tex3]\frac{\sqrt 2}{2}[/tex3]é o valor do seno de 45o e também do cosseno de 45o. Vamos aplicar a substituição conveniente e racionalizar o termo [tex3]\frac{4}{\sqrt 2}[/tex3].

[tex3]f(x)=\frac{4}{\sqrt 2}\cdot \frac{\sqrt 2}{\sqrt 2}\cdot \left[\sen(45^{\circ})\cdot\cos(x)-\cos(45^{\circ})\cdot\sen(x)\right][/tex3]

[tex3]f(x)=2\sqrt 2\cdot \left[\sen(45^{\circ})\cdot\cos(x)-\cos(45^{\circ})\cdot\sen(x)\right][/tex3]

Agora veja, que dentro dos colchetes temos uma expressão que podemos trocar por sen(45o-x), lembrando da fórmula [tex3]\boxed{\sen(a-b)=\sen(a)\cos(b)-\sen(b)\cos(a)}[/tex3]

[tex3]f(x)=2\sqrt 2\cdot \left[\sen(45^{\circ}-x)\right][/tex3]

Pronto, agora é fácil calcular a imagem desta função. A imagem de sen(45o-x) é de -1 até 1, portanto, o valor máximo que f(x) poderá atingir é quando sen(45o-x) for igual a 1, portanto, o valor máximo de f(x) será[tex3]2\sqrt 2[/tex3]. O valor mínimo que f(x) poderá atingir é quando sen(45o-x) for igual a -1, portanto, o valor mínimo de f(x) será[tex3]-2\sqrt 2[/tex3].

A imagem de [tex3]f(x)[/tex3] será[tex3]\left[-2\sqrt 2;\,2\sqrt 2\right][/tex3]