Equações Exponenciais

A solução da equação 2 . 9x = 4x – 6x é o número real logBA.

Portanto, a razão entre B e A é:


A primeira impressão é que esta questão é impossível de ser resolvida, mas se acalme, é que nem as outras de exponenciais que você conhece!

Vamos fatorar os números envolvidos:

2 . 9x = 4x – 6x

2 . (32)x = (22)x – (2 . 3)x

Efetuando as propriedades de potenciação, teremos:

2 . (3x)2 = 22x – 2x . 3x

Para nos auxiliar, vamos substituir uma das potências envolvidas:

3x = y

Substituindo:

2 . y2 = 22x – 2x . y

(1) 2 . y2 + 2x . y – 22x = 0

Temos agora uma equação do segundo grau em que os coeficientes para a fórmula de Baskhara, são a=2,b=2x e c=-22x.

Aplicamos Báscara:

[tex3]\frac{-2^x\pm\sqrt{(2^x)^2-4\cdot 2\cdot (-2^{2x})}}{2\cdot 2}[/tex3]

[tex3]\frac{-2^x\pm\sqrt{2^{2x}+8\cdot 2^{2x}}}{4}[/tex3]

[tex3]\frac{-2^x\pm\sqrt{9\cdot 2^{2x}}}{4}[/tex3]

Veja que, dentro dos parênteses, podemos extrair a raiz de 9, que é 3, e de 22x, que é 2x.

[tex3]\frac{-2^x\pm{3\cdot 2^{x}}}{4}=\begin{cases} \frac{-2^x+{3\cdot 2^{x}}}{4}=\frac{^2\cdot 2^x}{4}=\frac{2^x}{2}=2^{x-1}\\\frac{-2^x-{3\cdot 2^{x}}}{4}=\frac{-4\cdot 2^{x}}{4}=-2^x\end{cases}[/tex3]

Assim, as raízes da equação (1), que tem y como incógnita, são 2x-1 e -2x . Portanto, estes são os valores de y.

y = 2x-1

e

y = -2x

Só que y = 3x, então:

[tex3]3^x=2^{x-1}[/tex3]

[tex3]3^x=\frac{2^x}{2}[/tex3]

[tex3]2=\frac{2^x}{3^x}[/tex3]

[tex3]2=\left(\frac{2}{3}\right)^x[/tex3]

[tex3]\log_{\left(\frac{2}{3}\right)}2=x[/tex3]

e

3x = -2x Este é um absurdo, pois não há como elevar a base 3 a um expoente que resulte um número negativo.

Portanto, a resposta final é [tex3]\log_{\left(\frac{2}{3}\right)}2=x[/tex3], ou seja, [tex3]A=2[/tex3] e [tex3]B=\frac 23[/tex3]. E a razão entre B e A é:

[tex3]\frac BA=\frac{\,\frac{2}{3}\,}{2}=\frac 23\cdot\frac 12=\frac 13[/tex3]