Equações Exponenciais

(UFPR) Se 2x + 2-x = 3, o valor de 8x + 8-x é:


Para resolver este problema, vamos aplicar uma pequena manha.

Lembrando que:

[tex3](A+B)^3=A^3+3\cdot A^2\cdot B+3\cdot A\cdot B^2+B^3[/tex3]

Vamos elevar os dois lados da equação dada ao cubo, para tentar achar o valor do que é pedido:

[tex3]\left(2^x+2^{-x}\right)^3=3^3[/tex3]

Aplicando a regrinha do cubo

[tex3](2^x)^3+3\cdot (2^x)^2\cdot 2^{-x}+3\cdot (2^x)\cdot (2^{-x})^2+(2^{-x})^3=27[/tex3]

Efetuando as operações com as potências pra retirar os parênteses

[tex3]8^x+3\cdot 2^{2x}\cdot 2^{-x}+3\cdot 2^x\cdot 2^{-2x}+8^{-x}=27[/tex3]

Mais operações com as multiplicações de potências de mesma base.

[tex3]8^x+3\cdot 2^x+3\cdot 2^{-x}+8^{-x}=27[/tex3]

Mais operações com as multiplicações de potências de mesma base.

[tex3]8^x+8^{-x}=27-3\cdot 2^x-3\cdot 2^{-x}[/tex3]

No termo da direita, vamos colocar o (-3) em evidência

[tex3]8^x+8^{-x}=27-3\cdot\left(+2^x+2^{-x}\right)[/tex3]

Note que dentro do parênteses temos justamente a expressão que foi dada no enunciado do exercício, que vale 3. Substituindo:

[tex3]8^x+8^{-x}=27-3\cdot3[/tex3]

[tex3]8^x+8^{-x}=18[/tex3]

Esta é a RESPOSTA FINAL