Equação do Segundo Grau – Valor Mínimo

(BANRISUL – 2001) O quadrado de área A(x) está inscrito em um quadrado de lado 5, conforme indica a figura abaixo.

O valor mínimo de A(x) é

(A) 6,25
(B) 7,00
(C) 8,33
(D) 12,50
(E) 25,00

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Os valores que estão em jogo nesta situação, são: “x” e “5”. Portanto, devemos expressar o valor do lado do quadrado cinza utilizando apenas os valores x e 5.

Vamos dar uma olhada no triângulo retângulo verde da figura abaixo:

A hipotenusa deste triângulo é o lado do quadrado cinza. Aplicando pitágoras neste triângulo, temos:

[tex3](\textrm{lado})^2=x^2+(5-x)^2[/tex3]

Desenvolvendo a expressão dos parênteses:

[tex3](\textrm{lado})^2=x^2+25-10x+x^2[/tex3]
[tex3](\textrm{lado})^2=2x^2-10x+25[/tex3]

Note que a área A(x) do quadrado cinza é justamente lado², portanto, podemos substituir:

[tex3]A(x)=2x^2-10x+25[/tex3]

Veja que esta é uma equação do segundo grau (o gráfico é uma parábola), mostrada no desenho abaixo:

O valor mínimo (pedido pelo exercício) da área do quadrado, será exatamente o valor da coordenada Y do vértice desta parábola (Y_v).

Lembrando da fórmula do Y_v.

[tex3]Y_v=\frac{-\Delta}{4\cdot a}[/tex3]

Onde [tex3]\Delta=b^2-4\cdot a\cdot c[/tex3]

O Y_v será:

[tex3]Y_v=\frac{-\left[(-10)^2-4\cdot 2\cdot 25\right]}{4\cdot 2}[/tex3][tex3]Y_v=\frac{100}{8}[/tex3]

 

Y_v = 12,5

Resposta correta, letra “D”.