Divisão de Frações

(UFRGS) A expressão

[tex3]\large\frac{\frac{1+x}{1-x}-\frac{1-x}{1+x}}{\frac{1+x}{1-x}+\frac{x^2}{x^2-1}}[/tex3]

é igual a

(A) [tex3]\frac{1-x}{1+x^2}[/tex3]

(B) [tex3]\frac{x^2-x}{1+x}[/tex3]

(C) [tex3]\frac{x+1}{x^2-x}[/tex3]

(D) [tex3]2[/tex3]

(E) [tex3]\frac{4x}{1+2x}[/tex3]


Bom, esta questão envolve somente conceitos básicos de divisão de frações. O que torna ela uma questão de vestibular, é a necessidade de organização. Se você “ratear” em algum pedacinho das contas, a resposta já será alterada. Então, ATENÇÃO nos cálculos!! 🙂

Começamos olhando para a fração maior. Para efetuarmos a divisão, devemos ter UMA fração em cima (numerador) e UMA fração em baixo (denominador). Para tal, devemos efetuar MMC na subtração e na soma das frações envolvidas. Vamos começar na parte de cima!

[tex3]\large\frac{\frac{1+x}{1-x}-\frac{1-x}{1+x}}{\frac{1+x}{1-x}+\frac{x^2}{x^2-1}}[/tex3]
A subtração presente no numerador da fração maior possui incógnitas nos denominadores das frações envolvidas. Portanto, para este caso, o MMC será a multiplicação dos dois valores, ou seja, (1-x).(1+x).

Efetuando as operações do MMC:

[tex3]\frac{\frac{(1+x)^2-(1-x)^2}{(1-x)\cdot(1+x)}}{\frac{1+x}{1-x}+\frac{x^2}{x^2-1}}[/tex3]

Pronto, no numerador da fração maior já temos apenas uma fração. Devemos fazer o mesmo com o denominador!!

O principal problema desta questão está no MMC da soma de frações no denominador acima. Se você utilizar como MMC (1-x).(x²-1), poderá até chegar ao resultado final, mas com muitas complicações no meio do caminho.

Devemos rescrever os valores envolvidos nos denominadores das frações da soma para tentar achar um MMC melhor de se trabalhar.

Os denominadores são:

Denominador 1

Denominador 2

[tex3](1-x)[/tex3]

[tex3]x^2-1[/tex3]

Veja, que, o denominador 2 pode ser escrito como o produto da soma pela diferença.

Denominador 1

Denominador 2

[tex3](1-x)[/tex3]

[tex3](x+1)\cdot(x-1)[/tex3]

E o denominador 1 podemos colocar o sinal negativo em evidência.

Denominador 1

Denominador 2

[tex3]-(x-1)[/tex3]

[tex3](x+1)\cdot(x-1)[/tex3]

Veja, que, ao efetuar os cálculos nestes novos valores, voltamos aos valores originais, portanto, podemos utilizar estes ao invés dos primeiros.

Agora, como o (x-1) é um fator comum a ambos os valores, e aparece somente uma vez em cada um deles, deverá aparecer somente uma vez também no MMC dos dois. Ou seja, o MMC que procuramos é -(x-1).(x+1).

Voltando ao cálculo e efetuando as contas do MMC:

[tex3]\frac{\frac{(1+x)^2-(1-x)^2}{(1-x)\cdot(1+x)}}{\frac{(x+1)^2-x^2}{-(x-1)\cdot(x+1)}}[/tex3]

Agora sim, como temos apenas uma fração em cima e uma fração em baixo, podemos efetuar a divisão das frações (conserva-se a de cima e multiplica-se pelo inverso da de baixo).

[tex3]\frac{(1+x)^2-(1-x)^2}{(1-x)\cdot(1+x)}\cdot\frac{-(x-1)\cdot(x+1)}{(x+1)^2-x^2}[/tex3]

Vamos efetuar os cálculos das multiplicações e quadrados envolvidos:

[tex3]\frac{1+2x+x^2-(1-2x+x^2)}{(1-x)\cdot(1+x)}\cdot\frac{-(x-1)\cdot(x+1)}{x^2+2x+1-x^2}[/tex3]

Efetuando mais alguns cálculos:

[tex3]\frac{1+2x+x^2-1+2x-x^2}{(1-x)\cdot(1+x)}\cdot\frac{(1-x^2)}{x^2+2x+1-x^2}[/tex3]

Note, que, temos o fator (1-x²) que podemos cortar em cima e em baixo da multiplicação, e também algumas parcelas se anulam. Efetuando os cálculos, temos:

[tex3]\frac{2x+2x}{2x+1}[/tex3]

E a resposta final, é:

[tex3]\frac{4x}{2x+1}[/tex3]

Alternativa correta, letra “E”.