Binômio de Newton

Questão bem interessante sobre Binômio de Newton e soma de combinações que caiu no Vestibular do ITA em 1995.

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(ITA – 1995) Para cada [tex3]n\in\mathbb{N}[/tex3], temos que:

[tex3]1-\binom{4n}{2}+\binom{4n}{4}-\ldots-\binom{4n}{4n-2}+1[/tex3]

é igual a

(A) [tex3](-1)^n . 2^{2n}[/tex3]
(B) [tex3]2^{2n}[/tex3]
(C) [tex3](-1)^n\cdot 2^n[/tex3]
(D) [tex3](-1)^{n+1} \cdot 2^{2n}[/tex3]
(E) [tex3](-1)^{n+1} \cdot 2^n[/tex3]

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Resolução

A primeira coisa a fazer, é visualizar os 1’s que estão nas pontas como sendo também combinações:

Agora temos que utilzar a imaginação. O que que nós conhecemos que utiliza soma de combinações? Isto mesmo, Binômio de Newton. Devemos encontrar um binômio que se encaixe com a soma envolvida.

Vamos conjecturar um pouco. Se a soma pedida fosse: Nós poderíamos encaixar no binômio (1+1)4n e a resposta seria 24n. Se a soma pedida fosse: Nós poderíamos encaixar no binômio (1-1)4n e a resposta seria 04n = 0.

O problema desta questão é que os denominadores envolvidos na soma são só os PARES. Nos exemplos acima os denominadores eram todos os naturais até 4n.

Esta situação nos faz pensar um pouco mais além dos REAIS. Veja o seguinte desenvolvimento utilizando COMPLEXOS NÃO REAIS:

Este desenvolvimento é a charada para esta questão.

Vamos colocar os valores das potências de i que aparecem multiplicando cada número binomial:

[tex3]i^0 = 1[/tex3]
[tex3]i^1 = i[/tex3]
[tex3]i^2 = -1[/tex3]
[tex3]i^3 = -i[/tex3]
[tex3]i^4 = 1[/tex3]
[tex3]i^5 = i[/tex3]
[tex3]i^6 = -1[/tex3]
[tex3]i^7 = -i[/tex3]
[tex3]i^8 = 1[/tex3]
[tex3]i^9 = i[/tex3]
[tex3]i^{10} = -1[/tex3]
[tex3]i^{11} = -i[/tex3]

Veja que as potências seguem de acordo com a seqüência 1, i, -1, -i. Substituindo no desenvolvimento de (1+i)⁴ⁿ.

Vamos separar as parcelas reais das imaginárias:

(1)       

Agora que vem a grande sacada deste exercício. Vamos guardar esta como sendo a equação (1), e trabalhar somente com (1+i)⁴ⁿ.

Podemos rescrever esta expressão da seguinte forma:

(1+i)⁴ⁿ = [(1+i)²]²ⁿ

(1+i)⁴ⁿ = [1² + 2^.1^.i + i²]²ⁿ

(1+i)⁴ⁿ = [1 + 2i – 1]²ⁿ

(1+i)⁴ⁿ = ( 2i )²ⁿ

(1+i)⁴ⁿ = [( 2i )²]ⁿ

(1+i)⁴ⁿ = (-4)ⁿ        (2)

Vamos substituir o valor da expressão (2) na (1):

Note que temos uma igualdade entre dois complexos. Lembre-se, dois complexos serão iguais quando as partes reais forem iguais e as partes imaginárias forem iguais também.

O número complexo da esquerda é REAL, ou seja, a parte imaginária é ZERO. Sendo assim, o número complexo da direita também tem a parte imaginária NULA. Com este raciocínio, podemos escrever:

Que é exatamente o que o enunciado está pedindo 🙂

Portanto, a resposta final é (-4)ⁿ , como não tem nas alternativas, vamos proceder mais um pouco:

(-4)ⁿ

[(-1) ^. 4]ⁿ

(-1)^{n .} 4ⁿ

(-1)^{n .} 2²ⁿ

Que é exatamente o que temos na alternativa “A”.