Binômio de Newton

Uma questão bem interessante, que caiu no vestibular do IME em 1996 sobre Binômio de Newton.


(IME – 1996) Determine o termo máximo do desenvolvimento da expressão:

[tex3]\(1+\frac{1}{3}\)^{65}[/tex3]


Esta questão consiste em nada mais nada menos que uma aplicação de regras.

Qualquer questão que venha a pedir o maior valor do desenvolvimento de um binômio de Newton pode ser resolvida pelo método que veremos aqui.

A primeira coisa a fazer é lembrar a fórmula de um termo qualquer do desenvolvimento do binômio genérico [tex3](A+B)^n[/tex3]:

[tex3]\boxed{T_{p+1}=\binom{n}{p}\cdot B^p\cdot A^{(n-p)}}[/tex3]

Onde [tex3]\binom{n}{p}=C_{n,p}=C_n^p=\frac{n!}{p!\cdot(n-p)!}[/tex3] (famoso número binomial), “A” e “B” são os termos do binômio e “n” é o expoente do binômio.

Agora vem a manha secreta. Sabendo a fórmula do Tp+1, vamos encontrar a fórmula para o Tp. Para isso é só substituir o p por p-1 na fórmula apresentada acima.

[tex3]\boxed{T_{p}=\binom{n}{p-1}\cdot B^{p-1}\cdot A^{(n-(p-1))}}[/tex3]

TchãTchãTchãTchãããããã… Dividimos as duas fórmulas, Tp+1/Tp:

[tex3]\frac{T_{p+1}}{T_p}=\frac{\binom{n}{p}\cdot B^{p}\cdot A^{(n-p)}}{\left(\begin{array}{c}n\\p-1\end{array}\right)\cdot B^{p-1}\cdot A^{(n-(p-1))}}[/tex3]

Vamos substituir o número binomial pela sua fórmula e desenvolver os cálculos:

[tex3]\frac{T_{p+1}}{T_p}=\frac{\frac{n!}{p!\cdot(n-p)!} \cdot B^{p}\cdot A^{(n-p)}}{\frac{n!}{(p-1)!\cdot(n-p+1)!} \cdot B^{p-1}\cdot A^{(n-p+1))}}[/tex3]

Conserva-se a fração de cima e multiplica-se pela de baixo:

[tex3]\frac{T_{p+1}}{T_p}=\frac{n!}{p!\cdot(n-p)!} \cdot B^{p}\cdot A^{(n-p)}\cdot \frac{(p-1)!\cdot(n-p+1)!}{n!\cdot B^{p-1}\cdot A^{(n-p+1)}} [/tex3]

Vamos agrupar os termos semelhantes:

[tex3]\frac{T_{p+1}}{T_p}=\frac{n!}{p!\cdot(n-p)!} \cdot \frac{(p-1)!\cdot(n-p+1)!}{n!}\cdot\frac{B^p}{B^{p-1}}\cdot\frac{A^{n-p}}{A^{n-p+1}}[/tex3]

Dá para “cortar” o n!, dividir os termos com base B e A e desenvolver um fator das fatoriais p! e (n-p+1)!:

[tex3]\frac{T_{p+1}}{T_p}=\frac{(p-1)!\cdot(n-p+1)\cdot(n-p)!}{p\cdot(p-1)!\cdot(n-p)!}\cdot\frac{B}{A}[/tex3]

Agora dá para simplificar os últimos fatoriais, e teremos:

[tex3]\frac{T_{p+1}}{T_p}=\frac{n-p+1}{p}\cdot\frac{B}{A}[/tex3]

Isolando Tp+1:

[tex3]\bbox[yellow]{\boxed{\boxed{T_{p+1}=T_p\cdot\frac{n-p+1}{p}\cdot\frac{B}{A}}}}[/tex3]

Note que Tp+1 é o termo posicionado imediatamente depois do Tp.

Esta “fórmula” acima nos dirá qual o maior termo do desenvolvimento da questão!

Esta fórmula nos dá a relação existente entre um termo qualquer e seu sucessor.

Se tivermos Tp+1 igual à Tp multiplicado por um número MAIOR que 1, então podemos garantir que Tp+1 > Tp.

Portanto, para Tp+1 ser maior que Tp, devemos ter:

[tex3]\frac{n-p+1}{p}\cdot\frac{B}{A}\gt 1[/tex3]

Enquanto isto acontecer, o próximo termo é sempre maior que o anterior.


Resolução do Exercício.

Substituindo os valores do binômio do enunciado na desigualdade acima, teremos:

[tex3]\frac{65-p+1}{p}\cdot\frac{\hspace{3pt}\frac{1}{3}\hspace{3pt}}{1}\gt 1[/tex3]

[tex3]66-p\gt 3p[/tex3]

[tex3]66\gt 4p[/tex3]

[tex3]p\lt 16,5[/tex3]

Ou seja, enquanto p for menor que 16,5, o termo seguinte será maior que o termo anterior.

Como “p” é natural, o último “p” a satisfazer esta equação é o p=16, que nos afirma que [tex3]T_{16+1}\gt T_{16}[/tex3].

Sendo assim, o maior termo do desenvolvimento do binômio dado no enunciado é o DÉCIMO SÉTIMO TERMO.