Aritmética

( IME – 2000 )
Considere quatro números inteiros a, b, c e d. Prove que o produto:

[tex3](a-b)\cdot (c-a)\cdot (d-a)\cdot (d-c)\cdot (d-b)\cdot (c-b)[/tex3]

é divisível por 12 .


Vamos dizer que o produto pedido vale “P”, ou seja:

P = (a-b) . (c-a) . (d-a) . (d-c) . (d-b) . (c-b)

Utilizaremos as seguintes propriedades:

(1) Número PAR menos número PAR, resulta PAR.
(2) Número PAR menos número ÍMPAR, resulta ÍMPAR.
(3) Número ÍMPAR menos número PAR, resulta ÍMPAR.
(4) Número ÍMPAR menos número ÍMPAR, resulta PAR.

Devemos também lembrar que cada número par pode ser escrito como 2 . k, onde k é um número inteiro qualquer. Portanto, se tivermos dois números pares, 2 . k e 2 . k’, o produto entre eles será:

[tex3]\begin{array}{c}(2\cdot k)\cdot(2\cdot k’)\\4\cdot k\cdot k’\end{array}[/tex3]

Sendo assim, podemos garantir que um número PAR multiplicado por outro número PAR, sempre será divisível por 4.

Sabendo que os números a, b, c e d são inteiros, concluímos que cada um deles poderá ser ou PAR ou ÍMPAR. Sendo assim, poderemos ter as seguintes situações:

PRIMEIRA SITUAÇÃO
a é PAR A propriedade (1) nos diz que “P” terá 6 fatores PARES, garantindo a divisibilidade por 4.
b é PAR
c é PAR
d é PAR
SEGUNDA SITUAÇÃO
a é ÍMPAR A propriedade (1) nos diz que (d-c), (d-b) e (c-b) serão fatores PARES, garantindo a divisibilidade por 4.
b é PAR
c é PAR
d é PAR
Obs. Este mesmo raciocínio nos garante a divisibilidade por 4 para as situações:
a=par, b=ímpar, c=par, d=par
a=par, b=par, c=ímpar, d=par
a=par, b=par, c=par, d=ímpar
TERCEIRA SITUAÇÃO
a é ÍMPAR A propriedade (1) nos diz que (d-c) é PAR e a propriedade (4) nos diz que (a-b) também é PAR, garantindo a divisibilidade por 4.
b é ÍMPAR
c é PAR
d é PAR
Obs. Este mesmo raciocínio nos garante a divisibilidade por 4 para as situações:
a=ímpar, b=par, c=ímpar, d=par
a=ímpar, b=par, c=par, d=ímpar
a=par, b=ímpar, c=ímpar, d=par
a=par, b=ímpar, c=par, d=ímpar
a=par, b=par, c=ímpar, d=ímpar
QUARTA SITUAÇÃO
a é ÍMPAR A propriedade (4) nos diz que (a-b) e (c-a) são fatores PARES, garantindo a divisibilidade por 4.
b é ÍMPAR
c é ÍMPAR
d é PAR
Obs. Este mesmo raciocínio nos garante a divisibilidade por 4 para as situações:
a=ímpar, b=par, c=ímpar, d=ímpar
a=ímpar, b=ímpar, c=par, d=ímpar
a=ímpar, b=ímpar, c=ímpar, d=par
QUINTA SITUAÇÃO
a é ÍMPAR A propriedade (4) nos diz que “P” terá 6 fatores PARES, garantindo a divisibilidade por 4.
b é ÍMPAR
c é ÍMPAR
d é ÍMPAR

Sendo assim, em qualquer situação teremos “P” divisível por 4.

Mas, para “P” ser divisível por 12, deve ser, ao mesmo tempo, divisível por 4 e por 3. Sendo assim, falta garantirmos um fator divisível por 3 em “P”.

Podemos dizer que qualquer número inteiro pode ter uma das três representações abaixo:

(I) (II) (III)
3k 3q + 1 3w + 2
múltiplo de três resto 1 ao dividir por três resto 2 ao dividir por três

Todos os números inteiros existentes possui representação igual a uma das três classes mostradas acima. Quando efetuamos a subtração de dois números de mesma classe com certeza teremos um múltiplo de três:

3k – 3k’ = 3 . (k – k’)

3q + 1 – (3q’ + 1) = 3q – 3q’ + 1 – 1 = 3 . (q – q’)

3w + 2 – (3w’ + 2) = 3w – 3w’ + 2 – 2 = 3 . (w – w’)

Como temos quatro números e apenas três classes, com certeza dois deles irão pertencer à mesma classe, nos trazendo um fator múltiplo de 3, garantindo a divisibilidade por 3.

Portanto, concluímos que, sendo “P” divisível por 4 e por 3 ao mesmo tempo, com certeza é divisível por 12 🙂