Arcos no quadrado

Na figura abaixo são apresentados: um quadrado de lado 1 u.c. e 4 arcos de circunferências todos com centro nos vértices dos quadrados e com raio igual ao lado do quadrado. Com estas informações, qual o valor da área hachurada?

quadcom4circ.gif (2258 bytes)


Primeiro devemos fazer alguns “riscos” para nos auxiliar na montagem da resolução.

Veja a figura abaixo:

quadcom4circ02.gif (2542 bytes)

Note que o risco vermelho adicionado à figura tem comprimento exatamente igual ao raio da circunferência destacada, ou seja, vale 1. Agora vamos fazer outro “risco” nesta figura:

quadcom4circ03.gif (2733 bytes)

Note, novamente, que o novo risco vermelho da figura acima tem comprimento igual ao raio da circunferência destacada, ou seja, também 1. Com isso, temos o seguinte triângulo equilátero destacado:

quadcom4circ04.gif (2688 bytes)

O lado deste triângulo vale 1 (mesma medida do lado do quadrado). Portanto, utilizando a fórmula da área de um triângulo equilátero, podemos concluir que a área deste triângulo será:

[tex3]A=\frac{L^2+\sqrt 3}{4}[/tex3]

[tex3]A=\frac{1^2+\sqrt 3}{4}[/tex3]

[tex3]A=\frac{\sqrt 3}{4}[/tex3]

Como sabemos, os ângulos internos de um triângulo equilátero valem todos 60o. Portanto, podemos destacar o seguinte setor circular no desenho:

quadcom4circ05.gif (2758 bytes)

Vamos chamar este de setor1.
Sabemos que o raio deste arco é 1 (mesmo lado do quadrado). Portanto, como 60o equivalem a 1/6 da circunferência completa, a área deste setor será 1/6 área completa do círculo. A área completa do círculo é:

A = π.R²
A = π.1²
A = π

Portanto, a área do setor1 será

[tex3]A_{setor1}=\frac{\pi}{6}[/tex3]

Agora, de posse destes valores, podemos descobrir a área do pedaço destacado na figura abaixo:

quadcom4circ06.gif (2616 bytes)

Esta área será igual à área do setor1 menos a área do triângulo equilátero. Vamos chamar esta área de A1, ou seja:

[tex3]A1=\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt 3}{4}[/tex3]

Guardamos este valor e vamos para um próximo passo. Sabemos que o ângulo interno de um quadrado vale 90o. Portanto:

quadcom4circ07.gif (2847 bytes)

O setor circular destacado de amarelo na figura acima tem 30o. Se 30o equivalem a 1/12 de 360o (circunferência completa), sua área também será. Ou seja, chamando de setor2, temos:

[tex3]A_{setor2}=\frac{\pi}{12}[/tex3]

Veja só, se pegarmos este valor e diminuirmos A1, teremos um pedaço bem interessante para trabalharmos.

quadcom4circ08.gif (2744 bytes)

[tex3]A2=A_{setor2}-A1=\frac{\pi}{12}-\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt 3}{4}\right)[/tex3]

[tex3]A2=\frac{\pi}{12}-\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt 3}{4}[/tex3]

Tirando o MMC e calculando:

[tex3]A2=\frac{\pi-2\pi+3\sqrt 3}{12}[/tex3]

[tex3]A2=\frac{3\sqrt 3-\pi}{12}[/tex3]

Guardamos este valor e vamos agora calcular a seguinte área (essa é mais fácil).

quadcom4circ09.gif (2649 bytes)

Note que esta área nada mais é do que um setor de 90o do círculo de rai 1. Como 90o equivalem a 1/4 da circunferência completa, sua área também será 1/4 da área total. Ou seja, como a área total vale π, A3 irá valer:

[tex3]A3=\frac{\pi}{4}[/tex3]

Veja o desenho abaixo:

quadcom4circ10.gif (2991 bytes)

Se o lado do quadrado vale 1, sua área também vale 1. Portanto, a área cinza marcada na figura acima será:

Acinza = 1 – A3 – A2

[tex3]A_{cinza}=1-\frac{\pi}{4}-\frac{3+\sqrt 3+-+\pi}{12}[/tex3]

Tirando MMC e calculando:

[tex3]A_{cinza}=\frac{12-2\pi-3+\sqrt 3}{12}[/tex3]

Veja, a área solicitada no exercício é uma área formada por 4 partes de Acinza :

quadcom4circ11.gif (2449 bytes)

Então sua área será 4 vezes a Acinza:

[tex3]\textrm{Area+Pedida+}=4\cdot\left(\frac{12-2\pi-3\sqrt 3}{12}\right)\\\textrm{Area+Pedida+}=\frac{12-2\pi-3\sqrt 3}{3}[/tex3]

Esta é a resposta!