Ensino Superior ⇒ Produto Misto Geometria Analitica-UFPB Tópico resolvido

[VitorLeonam]

Resposta

---

Sejam [tex3]\vec{u}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{u}[/tex3]

e [tex3]\vec{v}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{v}[/tex3]

vetores linearmente independentes do espaço e [tex3]\theta [/tex3]

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[tex3]\theta [/tex3]

∠ ([tex3]\vec{u}[/tex3]

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[tex3]\vec{u}[/tex3]

, [tex3]\vec{v}[/tex3]

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[tex3]\vec{v}[/tex3]

), Mostre que : |sin [tex3]\theta [/tex3]

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[tex3]\theta [/tex3]

| = ||[tex3]\frac{\vec{{v}}}{\vec{||v||}} - \frac{\vec{u}}{\vec{||u||}}[/tex3]

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[tex3]\frac{\vec{{v}}}{\vec{||v||}} - \frac{\vec{u}}{\vec{||u||}}[/tex3]

cos [tex3]\theta [/tex3]

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[tex3]\theta [/tex3]

||

[AnthonyC]

Como [tex3]\vec{u}[/tex3]

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[tex3]\vec{u}[/tex3]

e [tex3]\vec{v}[/tex3]

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[tex3]\vec{v}[/tex3]

são L.I., então sabemos que eles não estão na mesma direção. Assim, podemos decompor [tex3]\vec{v}[/tex3]

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[tex3]\vec{v}[/tex3]

em duas componentes, uma paralela a [tex3]\vec{u}[/tex3]

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[tex3]\vec{u}[/tex3]

e outra ortogonal a [tex3]\vec{u}[/tex3]

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[tex3]\vec{u}[/tex3]

.
[tex3]\vec{v}=\vec{v}_{\|}+\vec{v}_\perp[/tex3]

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[tex3]\vec{v}=\vec{v}_{\|}+\vec{v}_\perp[/tex3]

[tex3]\vec{v}=\left\|\vec{v}_{\|}\right\|\cdot\hat{v}_{\|}+\left\|\vec{v}_{\perp}\right\|\cdot\hat{v}_{\perp}[/tex3]

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[tex3]\vec{v}=\left\|\vec{v}_{\|}\right\|\cdot\hat{v}_{\|}+\left\|\vec{v}_{\perp}\right\|\cdot\hat{v}_{\perp}[/tex3]

Podemos representar a situação da seguinte forma:

Vetores li com seno ali.png (4.11 KiB) Exibido 725 vezes

Podemos ver que [tex3]\left\|\vec{v}_{\|}\right\|=\left\|\vec{v}\right\|\cos(\theta)[/tex3]

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[tex3]\left\|\vec{v}_{\|}\right\|=\left\|\vec{v}\right\|\cos(\theta)[/tex3]

e [tex3]\left\|\vec{v}_{\perp}\right\|=\left\|\vec{v}\right\|\sen(\theta)[/tex3]

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[tex3]\left\|\vec{v}_{\perp}\right\|=\left\|\vec{v}\right\|\sen(\theta)[/tex3]

. Logo:
[tex3]\vec{v}=\left\|\vec{v}\right\|\cos(\theta)\cdot\hat{v}_{\|}+\left\|\vec{v}\right\|\sen(\theta)\cdot\hat{v}_{\perp}[/tex3]

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[tex3]\vec{v}=\left\|\vec{v}\right\|\cos(\theta)\cdot\hat{v}_{\|}+\left\|\vec{v}\right\|\sen(\theta)\cdot\hat{v}_{\perp}[/tex3]

Podemos afirmar que [tex3]\left\|\vec{v}\right\|\neq 0[/tex3]

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[tex3]\left\|\vec{v}\right\|\neq 0[/tex3]

, pois do contrário [tex3]\vec{v}=\vec{0}[/tex3]

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[tex3]\vec{v}=\vec{0}[/tex3]

, fazendo [tex3]\vec{u}[/tex3]

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[tex3]\vec{u}[/tex3]

e [tex3]\vec{v}[/tex3]

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[tex3]\vec{v}[/tex3]

seriam L.D. Assim, podemos dividir a equação por [tex3]\left\|\vec{v}\right\|[/tex3]

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[tex3]\left\|\vec{v}\right\|[/tex3]

:
[tex3]{\vec{v}\over\left\|\vec{v}\right\|}=\cos(\theta)\cdot\hat{v}_{\|}+\sen(\theta)\cdot\hat{v}_{\perp}[/tex3]

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[tex3]{\vec{v}\over\left\|\vec{v}\right\|}=\cos(\theta)\cdot\hat{v}_{\|}+\sen(\theta)\cdot\hat{v}_{\perp}[/tex3]

Como [tex3]\vec{v}_\| \|\vec{u}[/tex3]

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[tex3]\vec{v}_\| \|\vec{u}[/tex3]

, então [tex3]\hat{v}_\|={\vec{u}\over\left\|\vec{u}\right\|}[/tex3]

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[tex3]\hat{v}_\|={\vec{u}\over\left\|\vec{u}\right\|}[/tex3]

. Logo:
[tex3]{\vec{v}\over\left\|\vec{v}\right\|}=\cos(\theta)\cdot{\vec{u}\over\left\|\vec{u}\right\|}+\sen(\theta)\cdot\hat{v}_{\perp}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{\vec{v}\over\left\|\vec{v}\right\|}=\cos(\theta)\cdot{\vec{u}\over\left\|\vec{u}\right\|}+\sen(\theta)\cdot\hat{v}_{\perp}[/tex3]

[tex3]\sen(\theta)\cdot\hat{v}_{\perp}={\vec{v}\over\left\|\vec{v}\right\|}-\cos(\theta)\cdot{\vec{u}\over\left\|\vec{u}\right\|}[/tex3]

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[tex3]\sen(\theta)\cdot\hat{v}_{\perp}={\vec{v}\over\left\|\vec{v}\right\|}-\cos(\theta)\cdot{\vec{u}\over\left\|\vec{u}\right\|}[/tex3]

[tex3]\left\|\sen(\theta)\cdot\hat{v}_{\perp}\right\|=\left\|{\vec{v}\over\left\|\vec{v}\right\|}-\cos(\theta)\cdot{\vec{u}\over\left\|\vec{u}\right\|}\right\|[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left\|\sen(\theta)\cdot\hat{v}_{\perp}\right\|=\left\|{\vec{v}\over\left\|\vec{v}\right\|}-\cos(\theta)\cdot{\vec{u}\over\left\|\vec{u}\right\|}\right\|[/tex3]

[tex3]|\sen(\theta)|\cdot\left\|\hat{v}_{\perp}\right\|=\left\|{\vec{v}\over\left\|\vec{v}\right\|}-\cos(\theta)\cdot{\vec{u}\over\left\|\vec{u}\right\|}\right\|[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|\sen(\theta)|\cdot\left\|\hat{v}_{\perp}\right\|=\left\|{\vec{v}\over\left\|\vec{v}\right\|}-\cos(\theta)\cdot{\vec{u}\over\left\|\vec{u}\right\|}\right\|[/tex3]

Como [tex3]\left\|\hat{v}_{\perp}\right\|=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left\|\hat{v}_{\perp}\right\|=1[/tex3]

, temos:
[tex3]|\sen(\theta)|=\left\|{\vec{v}\over\left\|\vec{v}\right\|}-\cos(\theta)\cdot{\vec{u}\over\left\|\vec{u}\right\|}\right\|[/tex3]