Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap XIV - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:04 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
4 - Na figura : O e O1 são centros, TQ = a e QL = b.
Calcular AB.

Resposta

---

[tex3]2.\frac{\sqrt{a^2+ab+b^2}}{3}[/tex3]

[FelipeMartin]

Acho que o problema já foi resolvido no fórum...pelo ittalo25 provavelmente. Mas vou adiantar uns detalhes:

Como [tex3]\angle AMQ = 90^{\circ}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle AMQ = 90^{\circ}[/tex3]

, então [tex3]AQ[/tex3]

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[tex3]AQ[/tex3]

é diâmetro (teorema de Tales), logo [tex3]A,O[/tex3]

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[tex3]A,O[/tex3]

e [tex3]Q[/tex3]

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[tex3]Q[/tex3]

são alinhados. Analogamente, [tex3]B,O_1[/tex3]

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[tex3]B,O_1[/tex3]

e [tex3]Q[/tex3]

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[tex3]Q[/tex3]

também são colineares.

Sabemos também que os raios dos círculos são iguais, uma vez que um passa pelo centro do outro. Logo, [tex3]AQ = BQ[/tex3]

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[tex3]AQ = BQ[/tex3]

e os triângulos [tex3]\triangle AMQ[/tex3]

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[tex3]\triangle AMQ[/tex3]

e [tex3]\triangle BMQ[/tex3]

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[tex3]\triangle BMQ[/tex3]

são congruentes por serem retângulos de mesmo cateto [tex3]MQ[/tex3]

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[tex3]MQ[/tex3]

e mesmas hipotenusas. Logo, [tex3]AM = BM = \frac{AB}2[/tex3]

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[tex3]AM = BM = \frac{AB}2[/tex3]

e [tex3]AM = OO_1 = R[/tex3]

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[tex3]AM = OO_1 = R[/tex3]

, pois [tex3]OO_1[/tex3]

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[tex3]OO_1[/tex3]

é base média do [tex3]\triangle AQB[/tex3]

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[tex3]\triangle AQB[/tex3]

.

O triângulo [tex3]\triangle AQB[/tex3]

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[tex3]\triangle AQB[/tex3]

é então equilátero.

[petras]

Como [tex3]\angle AMQ = 90^{\circ}[/tex3]

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[tex3]\angle AMQ = 90^{\circ}[/tex3]

, então AQ é diâmetro (teorema de Tales), logo A, O e Q são alinhados.
Analogamente, B, O₁ e Q e também são colineares.
Raios dos círculos são iguais, uma vez que um passa pelo centro do outro. Logo, AQ = BQ e os triângulos [tex3]\triangle AMQ ~e ~\triangle BMQ~[/tex3]

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[tex3]\triangle AMQ ~e ~\triangle BMQ~[/tex3]

e são congruentes por serem retângulos de mesmo cateto MQ e mesmas hipotenusas. Logo, [tex3]AM = BM = \frac{AB}2[/tex3]

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[tex3]AM = BM = \frac{AB}2[/tex3]

e [tex3]AM = OO_1 = R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AM = OO_1 = R[/tex3]

, pois OO₁ é base média do [tex3]\triangle AQB[/tex3]

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[tex3]\triangle AQB[/tex3]

.
O triângulo [tex3]\triangle AQB[/tex3]

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[tex3]\triangle AQB[/tex3]

é então equilátero.(FelipeMartin)


[tex3]\mathsf{Quadrilátero~ ACQT ~inscrito ~na ~circunferência~de ~centro O \therefore \angle ATQ = 90^o\\
Quadrilátero ~CBLQ~está ~inscrito ~na ~circunferência~ de~ centro O_1 \therefore \angle QLB = 90^0\\
\therefore \overline {AT} \parallel \overline {BL} \implies Quadrilátreo ~ABLT ~é~ um ~trapézio ~retângulo ~com ~ altura ~ \overline{LT}=a+b\\
\overline{AM}=\overline{BM}=R.}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{Quadrilátero~ ACQT ~inscrito ~na ~circunferência~de ~centro O \therefore \angle ATQ = 90^o\\
Quadrilátero ~CBLQ~está ~inscrito ~na ~circunferência~ de~ centro O_1 \therefore \angle QLB = 90^0\\
\therefore \overline {AT} \parallel \overline {BL} \implies Quadrilátreo ~ABLT ~é~ um ~trapézio ~retângulo ~com ~ altura ~ \overline{LT}=a+b\\
\overline{AM}=\overline{BM}=R.}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\triangle ATQ: AT^2+a^2=AQ^2\implies AT^2 = 4R^2-a^2\\ \therefore \boxed{AT = c = \sqrt{4R^2-a^2}}(I)\\\triangle QLB:BL^2+b^2 = BQ^2 \implies BL^2 = 4R^2 - b^2 \\\therefore \boxed{BL =d = \sqrt{4R^2 - b^2}}(II)\\\triangle ABD: AB^2 = AD^2+BD^2\implies 4R^2 = (c-d)^2+(a+b)^2 \implies 4R^2(3R^2-a^2-b^2-ab))=0\\\therefore \boxed{R = \sqrt{\frac{a^2+ab+b^2}{3}}}\\
mas ~AB = 2R \therefore \boxed{\color{red}AB = 2 \sqrt{\frac{a^2+ab+b^2}{3}}}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\triangle ATQ: AT^2+a^2=AQ^2\implies AT^2 = 4R^2-a^2\\ \therefore \boxed{AT = c = \sqrt{4R^2-a^2}}(I)\\\triangle QLB:BL^2+b^2 = BQ^2 \implies BL^2 = 4R^2 - b^2 \\\therefore \boxed{BL =d = \sqrt{4R^2 - b^2}}(II)\\\triangle ABD: AB^2 = AD^2+BD^2\implies 4R^2 = (c-d)^2+(a+b)^2 \implies 4R^2(3R^2-a^2-b^2-ab))=0\\\therefore \boxed{R = \sqrt{\frac{a^2+ab+b^2}{3}}}\\
mas ~AB = 2R \therefore \boxed{\color{red}AB = 2 \sqrt{\frac{a^2+ab+b^2}{3}}}}[/tex3]

(Solução: VALDERCIITOZZI - viewtopic.php?f=4&t=28099&p=73402&hilit ... AB.#p73402)