Ensino Médio ⇒ Polinômios/método da chave

[Sara123]

Olá,boa tarde. Queria ajuda na resolução da questão abaixo. Obrigada!

Calcule o valor de m e n para que a divisão de p(x)= 8x⁴+mx³+2x²-nx+1 por d(x)= 4x²+3x-1 seja exata.
Gabarito: m= 50/3 e n= 17/3

[Deleted User 23699]

É mais fácil se você usar o teorema do resto: (x-a) divide p(x) apenas se p(a) = 0
As raízes de d(x) são -1 e 1/4
então posso escrever d(x) como um produto de (x+1)(x-1/4)
Substitua -1 e 1/4 em p(x) e resolva o sistema 2x2 que vai aparecer com m e n

[PedroLucas]

Por Briot-Ruffini:
[tex3]d(x)= 4x^2+3x-1\\
\boxed{x_1 = -1} \ \vee \boxed{x_2 = \frac{1}{4}}\\[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d(x)= 4x^2+3x-1\\
\boxed{x_1 = -1} \ \vee \boxed{x_2 = \frac{1}{4}}\\[/tex3]

Essas raízes são importantes porque basicamente vão te direcionar para um sistema de equações em [tex3]p(x)[/tex3]

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[tex3]p(x)[/tex3]

. Daí:
Para [tex3]x = -1[/tex3]

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[tex3]x = -1[/tex3]

em [tex3]p(x)[/tex3]

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[tex3]p(x)[/tex3]

:
[tex3]p(-1) = 11 + n - m[/tex3]

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[tex3]p(-1) = 11 + n - m[/tex3]

Como temos que ter uma divisão exata, devemos ter [tex3]p(-1) = 0[/tex3]

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[tex3]p(-1) = 0[/tex3]

:
[tex3]11 + n - m = 0 \rightarrow m - n = 11 \ \ (i)[/tex3]

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[tex3]11 + n - m = 0 \rightarrow m - n = 11 \ \ (i)[/tex3]

De maneira semelhante, você faz para o segundo valor e obterá:
[tex3]m - 16n = -74 \ \ (ii)[/tex3]

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[tex3]m - 16n = -74 \ \ (ii)[/tex3]

Resolvendo o sistema de equações encontrado:
[tex3]\boxed{\boxed{n = \frac{17}{3}}} \\ \boxed{\boxed{m = \frac{50}{3}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\boxed{n = \frac{17}{3}}} \\ \boxed{\boxed{m = \frac{50}{3}}}[/tex3]