Temos que a notação de colchetes indica o produto misto entre os vetores. Sabemos que o produto misto pode ser calculado por:
[tex3][\vec{a},\vec{b},\vec{c}]=\vec{a}\odot(\vec{b}\times\vec{c})[/tex3]
Sabemos que o produto vetorial é distributivo sobre a soma, logo:
[tex3](\vec{v}+\rho\vec{w})\times(\alpha\vec{u}+\vec{w})=\vec{v}\times\vec{u}+\rho\vec{w}\times\alpha\vec{u}+\vec{v}\times\vec{w}+\rho\vec{w}\times\vec{w}[/tex3]
Sabendo que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é nulo, temos que o último termo acima é nulo, logo:
[tex3](\vec{v}+\rho\vec{w})\times(\alpha\vec{u}+\vec{w})=\vec{v}\times\vec{u}+(\alpha\rho)\vec{w}\times\vec{u}+\vec{v}\times\vec{w}[/tex3]
Para facilitar a escrita, chamemos [tex3]\vec{v}\times\vec{u}=\vec{m}[/tex3], [tex3](\alpha\rho)\vec{w}\times\vec{u}=\vec{n}[/tex3] e [tex3]\vec{v}\times\vec{w}=\vec{p}[/tex3]. Assim, temos: [tex3](\vec{v}+\rho\vec{w})\times(\alpha\vec{u}+\vec{w})=\vec{m}+\vec{n}+\vec{p}[/tex3]
Agora, calculemos o produto misto desejado:
[tex3]\beta[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=[\vec{u}+(\lambda+\mu)\vec{v}-\kappa\vec{w},\vec{v}+\rho\vec{w},\alpha\vec{u}+\vec{w}][/tex3]
Como o produto escalar é distributivo sobre a soma, temos:
[tex3]\beta[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\\\vec{u}\odot\vec{m}+(\lambda+\mu)\vec{v}\odot\vec{m}-\kappa\vec{w}\odot\vec{m}\\+\vec{u}\odot\vec{n}+(\lambda+\mu)\vec{v}\odot\vec{n}-\kappa\vec{w}\odot\vec{n}\\+\vec{u}\odot\vec{p}+(\lambda+\mu)\vec{v}\odot\vec{p}-\kappa\vec{w}\odot\vec{p}[/tex3]
Sabemos que o produto vetorial gera um vetor perpendiculares aos vetores utilizados. Sendo assim, temos que [tex3]\vec{m}\perp \vec{u},\vec{v}[/tex3], [tex3]\vec{n}\perp \vec{u},\vec{w}[/tex3] e [tex3]\vec{p}\perp \vec{v},\vec{w}[/tex3]. E sabemos que o produto escalar de vetores perpendiculares é nulo. Assim, todos os termos demarcados abaixo são nulos:
[tex3]\beta[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\\{\color{red}\vec{u}\odot\vec{m}}+{\color{red}(\lambda+\mu)\vec{v}\odot\vec{m}}-\kappa\vec{w}\odot\vec{m}\\+{\color{red}\vec{u}\odot\vec{n}}+(\lambda+\mu)\vec{v}\odot\vec{n}-{\color{red}\kappa\vec{w}\odot\vec{n}}\\+\vec{u}\odot\vec{p}+{\color{red}(\lambda+\mu)\vec{v}\odot\vec{p}}-{\color{red}\kappa\vec{w}\odot\vec{p}}[/tex3]
Sabendo que o produto misto altera de sinal quando trocamos dois termos de lugar, temos:
[tex3]\beta[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\kappa[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]-(\lambda+\mu)(\alpha\rho)[\vec{w},\vec{v},\vec{u}]+[\vec{u},\vec{v},\vec{w}][/tex3]
(UFBA) - Com relação às funções f, g : R → R e h : ]0, +∞[ → R, dadas por f(x) = b^{x} + b^{-x} , g(x) = b^{x} – b^{-x} + x e h(x) = logbx, sendo b um número real positivo e diferente de 1, é correto...
Última mensagem
Quando coloquei \boxed{b^{\log_{b}{a}=a}} foi só pra lembrar essa propriedade do logaritmo, pois:
b^{\log_{b}{a}}\to\cancel{b}^{\cancel{\log_{b}}a}\to a
(UFBA) - Com relação às funções f, g : R → R e h : ]0, +∞[ → R, dadas por f(x) = b^{x} + b^{-x} , g(x) = b^{x} – b^{-x} + x e h(x) = \log_{b} x, sendo b um número real positivo e diferente de 1, é...
Última mensagem
Uma ferramente muito poderosa para demonstrações e análise de afirmativas na matemática é a ideia do absurdo. Veja que essa ideia conclui rapidamente e de maneira formal a questão:
Determine a resultante ( \vec{R} ) dos vetores \vec{a} , \vec{b} e \vec{c} representados na figura logo abaixo, obtendo primeiramente suas decomposições em função dos versores ortogonais \vec{i}...
Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço vetorial do espaço vetorial V . Caso não sejam especificadas, considere as operações usuais.
V = M_{2} , W = \left \{...
Última mensagem
Temos de checar os três seguintes itens:
1) 0\in W
2) Dados u,v\in W temos u+v\in W
3) Dados u\in W e \mu\in\mathbb R temos \mu u\in W .
Para 1) se tivermos a=b=c=0 teremos que \begin{pmatrix} a &...