Olimpíadas ⇒ (Estônia - 1999) Função Racional

[splinter.br]

Determine o valor da expressão:

• [tex3]f\left(\frac{1}{2000}\right) + f\left(\frac{2}{2000}\right) +\ldots + f\left(\frac{1999}{2000}\right) + f\left(\frac{2000}{2000}\right) + f\left(\frac{2000}{1999}\right) +\ldots + f\left(\frac{2000}{1}\right)[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]f\left(\frac{1}{2000}\right) + f\left(\frac{2}{2000}\right) +\ldots + f\left(\frac{1999}{2000}\right) + f\left(\frac{2000}{2000}\right) + f\left(\frac{2000}{1999}\right) +\ldots + f\left(\frac{2000}{1}\right)[/tex3]

supondo que [tex3]f(x) = \frac{x^2}{1 + x^2}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x) = \frac{x^2}{1 + x^2}.[/tex3]

[marco_sx]

Oi splinter.br

• [tex3]f\left(\frac{a}{b}\right)+f\left(\frac{b}{a}\right)=\frac{\left(\large\frac{a}{b}\right)^2}{1+\left(\large\frac{a}{b}\right)^2}+\frac{\left(\large\frac{b}{a}\right)^2}{1+\left(\large\frac{b}{a}\right)^2}=\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]f\left(\frac{a}{b}\right)+f\left(\frac{b}{a}\right)=\frac{\left(\large\frac{a}{b}\right)^2}{1+\left(\large\frac{a}{b}\right)^2}+\frac{\left(\large\frac{b}{a}\right)^2}{1+\left(\large\frac{b}{a}\right)^2}=\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1[/tex3]

Portanto, a soma fica dessa forma:

• [tex3]1999+f\left(\frac{2000}{2000}\right)=1999+f(1)=1999+\frac{1}{2}=\frac{3999}{2}.[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]1999+f\left(\frac{2000}{2000}\right)=1999+f(1)=1999+\frac{1}{2}=\frac{3999}{2}.[/tex3]