Um conjunto [tex3]\mathcal C[/tex3] de pontos é dito "corpo rígido" quando, ao realizar um movimento, as distâncias entre quaisquer dois pontos de [tex3]\mathcal C[/tex3] não se alteram, ou seja, dados [tex3]P[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] arbitrários em [tex3]\mathcal C[/tex3] , então [tex3]|\overrightarrow{PQ}| = |\overrightarrow{P'Q'}|[/tex3] sendo [tex3]P'[/tex3] e [tex3]Q'[/tex3] as respectivas imagens de [tex3]P[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] após o movimento.
Note-se que ser corpo rígido não é uma propriedade inerente a qualquer objeto, pois um objeto pode ser corpo rígido quando se considera sua translação, mas o mesmo objeto não será um corpo rígido ao se analisar sua ruptura, deformação ou dilatação térmica. O corpo rígido é uma caracterização mais própria do movimento do que do objeto que se move, apesar de um líquido dificilmente ser um corpo rígido.
Também é importante frisar que os movimentos na física são dados geralmente por variações de posição contínuas no tempo. De forma que se pode marcar um instante de tempo [tex3]t[/tex3] , em que a distância entre [tex3]P[/tex3] e [tex3]P'[/tex3] seja tão pequena quanto se queira. A imagem de [tex3]P[/tex3] não pode saltar para uma distância grande de [tex3]P[/tex3] de forma descontínua. Os movimentos considerados, na verdade, são considerados isometrias (transformações que preservam as distâncias) arbitrárias.
Haverá um abuso de linguagem: por "esfera" deve-se compreender na verdade a casca esférica mais exterior a tal esfera. De forma que as esferas descritas nessa prova são "ocas": são superfícies e não volumes.
Vamos a alguns lemas:
Lema 1: Dada uma esfera [tex3]\mathcal S[/tex3] de centro [tex3]O[/tex3] e um círculo [tex3]\gamma = \odot (o,r) \subset \mathcal S[/tex3] , com [tex3]r \neq 0[/tex3] , então a imagem de [tex3]\gamma[/tex3] , depois de um movimento isométrico arbitrário dos pontos de [tex3]\mathcal S[/tex3] , será um novo círculo, [tex3]\gamma '[/tex3] , de raio [tex3]r[/tex3] .
Prova:
- Euler.png (83.22 KiB) Exibido 821 vezes
Sendo então [tex3]P'[/tex3] a imagem de [tex3]P[/tex3] em relação ao movimento de corpo rígido de [tex3]\mathcal S[/tex3] e [tex3]X'[/tex3] a imagem de [tex3]X[/tex3] , deve-se ter: [tex3]\overline{P'X'} = \overline{PX}[/tex3] , então os pontos [tex3]X'[/tex3] da imagem de [tex3]\gamma[/tex3] estão no encontro de [tex3]\mathcal S[/tex3] com a esfera centrada em [tex3]P'[/tex3] de raio [tex3]P'X' = PX[/tex3] . As duas esferas são sempre secantes, pois [tex3]P' \in \mathcal S[/tex3] .O encontro de duas esferas secantes é sempre um círculo, logo [tex3]\gamma'[/tex3] é um círculo.
Tome três pontos [tex3]A,B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] em [tex3]\gamma[/tex3] . Suas imagens serão os pontos [tex3]A',B'[/tex3] e [tex3]C'[/tex3] , e, do vínculo de corpo rígido: [tex3]\overline{AB} = \overline{A'B'}, \overline{AC} = \overline{A'C'}[/tex3] e [tex3]\overline{BC} =\overline{B'C'}[/tex3] ; logo, [tex3]\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'[/tex3] por [tex3]L-L-L[/tex3] e seus circuncírculos também são congruentes (possuem o mesmo raio): [tex3]\gamma \cong \gamma'. \square[/tex3]
Lema 2: Toda isometria em um círculo corresponde ou a uma rotação por um ângulo fixo, ou a uma reflexão em relação a um diâmetro do círculo, ou ainda a uma composição de rotação com reflexão.
Prova:
- circulos.png (17.33 KiB) Exibido 821 vezes
Se [tex3]A=A'[/tex3] e [tex3]B'[/tex3] é o reflexo de [tex3]B[/tex3] em relação ao diâmetro [tex3]AA^*[/tex3] ([tex3]A^*[/tex3] é o antípoda de [tex3]A[/tex3] em [tex3]\omega[/tex3] ), se [tex3]C=C'[/tex3] , então [tex3]\overline{B'C'} = \overline{BC} = \overline{B'C}[/tex3] , então [tex3]C[/tex3] estaria na mediatriz de [tex3]BB'[/tex3] , que é [tex3]AA^*[/tex3] , logo [tex3]C= A[/tex3] ou [tex3]C = A^*[/tex3] , absurdo. Então [tex3]C'[/tex3] é o reflexo de [tex3]C[/tex3] em relação a [tex3]AA^*[/tex3] para todo [tex3]C[/tex3] . Então a isometria nesse caso seria a reflexão em relação ao diâmetro por [tex3]A[/tex3] .
Suponha então que não haja um ponto que seja igual à sua imagem. Sejam [tex3]A'[/tex3] a imagem de [tex3]A[/tex3] , [tex3]O[/tex3] o centro de [tex3]\omega[/tex3] e [tex3]\alpha := \angle AOA' >0[/tex3] o ângulo orientado entre [tex3]A[/tex3] e [tex3]A'[/tex3] . Como [tex3]\overline{A'B'} = \overline{AB}[/tex3] , então ou [tex3]B'[/tex3] é a rotação de [tex3]B[/tex3] num ângulo [tex3]\alpha[/tex3] , ou é a reflexão deste último ponto em relação ao diâmetro [tex3]A'O[/tex3] . Fazendo um raciocínio análogo ao do parágrafo anterior: ou a isometria é uma simples rotação de um ângulo [tex3]\alpha[/tex3] para todo ponto, ou ela é uma rotação seguida de reflexão em relação ao diâmetro [tex3]A'O[/tex3] para algum [tex3]A'[/tex3] . [tex3]\square[/tex3]
Lema 3: Se for encontrado um ponto [tex3]P[/tex3] sobre uma esfera [tex3]\mathcal S[/tex3] tal que a imagem de [tex3]P[/tex3] após uma isometria corresponda à posição do próprio [tex3]P[/tex3] , ou seja, [tex3]P=P'[/tex3] , então a isometria é indistinguível de uma rotação da esfera pelo diâmetro que contém [tex3]P[/tex3] , a menos que haja reflexão.
Prova: Seja o ponto [tex3]P^*[/tex3] o antípoda de [tex3]P[/tex3] em [tex3]\mathcal S[/tex3] , ou seja, [tex3]PP^*[/tex3] é diâmetro de [tex3]\mathcal S[/tex3] . Seja [tex3]\pi[/tex3] um plano qualquer perpendicular a [tex3]PP^*[/tex3] que corte [tex3]\mathcal S[/tex3] em um círculo [tex3]\gamma[/tex3] . Do lema 1, sabemos que [tex3]\gamma ' = \gamma[/tex3] , ou seja, todos os pontos do círculo [tex3]\gamma[/tex3] serão levados a [tex3]\gamma'[/tex3] em alguma ordem.
Segundo o lema 2, podemos ter uma isometria trivial, que não altera a posição de nenhum ponto de [tex3]\gamma[/tex3] : Seja [tex3]\Gamma[/tex3] outro círculo em [tex3]\mathcal S[/tex3] , cujo plano seja perpendicular a [tex3]PP^*[/tex3] e seja [tex3]Q \in \Gamma[/tex3] um ponto genérico. A esfera centrada em [tex3]P[/tex3] e de raio [tex3]PQ[/tex3] intersecta [tex3]\mathcal S[/tex3] no plano perpendicular a [tex3]OP[/tex3] que passa por [tex3]Q[/tex3] . Esse plano corta o plano de [tex3]\Gamma[/tex3] em uma reta secante a [tex3]\Gamma[/tex3] em [tex3]Q[/tex3] a qual pode girar livremente de acordo com [tex3]P[/tex3] , logo existe um ponto [tex3]P_1 \in \gamma[/tex3] tal que essa reta é tangente à [tex3]\Gamma[/tex3] por [tex3]Q[/tex3] , para qualquer [tex3]Q[/tex3] . De forma mais explicita, [tex3]P_1QoO[/tex3] são coplanares, onde [tex3]o[/tex3] é centro de [tex3]\gamma[/tex3] .
Se o ponto [tex3]P_1[/tex3] for fixo na isometria em [tex3]\gamma[/tex3] o ponto [tex3]Q[/tex3] deverá ser fixo na isometria em [tex3]\Gamma[/tex3] . Basta tomar três pontos distintos e não antipodais entre si em [tex3]\Gamma[/tex3] para constar que a isometria em [tex3]\Gamma[/tex3] deverá ser a trivial. Logo a isometria sobre [tex3]\mathcal S[/tex3] é a trivial.
Outra possibilidade é a de haver reflexão em relação a um diâmetro [tex3]AA^*[/tex3] de [tex3]\gamma[/tex3] . Neste caso, basta tomar o plano [tex3]\beta[/tex3] , formado por [tex3]AA^*[/tex3] e [tex3]P[/tex3] , que o ponto [tex3]A[/tex3] corresponderá ao ponto [tex3]P_1[/tex3] de [tex3]Q = \beta \cap \Gamma[/tex3] . Sendo [tex3]A[/tex3] fixo, [tex3]Q[/tex3] deverá ser fixo bem como seu antípoda em [tex3]\Gamma[/tex3] , e não podendo [tex3]\Gamma[/tex3] estar sob a isometria trivial, tem-se que [tex3]\Gamma[/tex3] também sofre uma reflexão em relação ao plano [tex3]\beta[/tex3] . Logo, a esfera como um todo sofre uma reflexão ao redor do plano [tex3]\beta[/tex3] , que não pode ser escrita como rotação.
A última possibilidade é de haver rotação em [tex3]\gamma[/tex3] de um certo ângulo [tex3]\alpha[/tex3] . Pelo mesmo argumento, deverá ocorrer a rotação de [tex3]\alpha[/tex3] em [tex3]\Gamma[/tex3] , o que corresponde a uma rotação da esfera em torno de [tex3]PP^*[/tex3] de um ângulo [tex3]\alpha. \square[/tex3]
Teorema de Euler: Movimentos de corpo rígido em uma esfera que preservam a orientação (que não transformam esquerda em direita, como ocorre em uma reflexão), sempre admitem um ponto fixo, um ponto que permanece inalterado após o movimento.
Prova: Seja um círculo máximo (círculo cujo centro é o mesmo da esfera) azul. O lema 1 garante que o movimento arbitrário o levará a um outro círculo máximo, em vermelho, conforme a figura abaixo:
- provaeuler.png (67.65 KiB) Exibido 821 vezes
Se a imagem de [tex3]A[/tex3] for ele próprio, então o diâmetro da esfera que contém [tex3]A[/tex3] é fixo pois seu antípoda [tex3]A^*[/tex3] será fixo, uma vez que a reflexão em relação ao plano mediador de [tex3]AA^*[/tex3] preservará a distância entre [tex3]A[/tex3] e sua imagem.
Se a imagem de [tex3]A[/tex3] for o ponto [tex3]\alpha[/tex3] , e sua pré-imagem (o ponto no círculo azul que será levado a [tex3]A[/tex3] ) for [tex3]\text a[/tex3] , então pode-se construir o ponto fixo [tex3]P[/tex3] da seguinte maneira: basta tomar um dos encontros entre os planos mediadores de [tex3]A\alpha[/tex3] e [tex3]A\text a[/tex3] e a esfera, note que o outro encontro é o antípoda de [tex3]P[/tex3] . Como [tex3]P[/tex3] está no plano mediador de [tex3]A \alpha[/tex3] , então [tex3]\overline{PA} = \overline{P\alpha}[/tex3] , analogamente [tex3]\overline{P \text a} = \overline{PA}[/tex3] , então [tex3]\overline{P\alpha} = \overline{P \text a}[/tex3] .
Suponha que a imagem de [tex3]P[/tex3] no movimento seja [tex3]P'[/tex3] .
Pelo vínculo de corpo rígido, [tex3]\triangle \text aPA \cong \triangle AP'\alpha[/tex3] por [tex3]L-L-L[/tex3] , e [tex3]\triangle \alpha PA \cong \triangle AP \text a[/tex3] por construção do ponto [tex3]P[/tex3] . Em particular, isso implica que só há duas opções para [tex3]P'[/tex3] : ou [tex3]P'=P[/tex3] e [tex3]P[/tex3] é ponto fixo, ou [tex3]P'[/tex3] é a reflexão de [tex3]P[/tex3] em relação a um dos planos bissetores dos círculos azul e vermelho, porém essa reflexão inverteria a orientação de [tex3]P[/tex3] em relação a [tex3]A[/tex3] , logo [tex3]P[/tex3] é ponto fixo.[tex3]\square[/tex3]
Esse teorema, junto com o lema 3, diz que o único movimento contínuo no tempo que uma esfera rígida pode efetuar em torno de seu centro é uma rotação, e, um corolário interessante é que a composição de rotações em uma esfera é uma nova rotação. Então, pode-se decompor as rotações de forma semelhante aos deslocamentos (apesar de rotações em si não serem vetores - velocidade angular é uma taxa de rotação no tempo).
