Ensino MédioFunção quadrática - Conjunto imagem de uma função dada por mais de uma sentença Tópico resolvido

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inguz
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Ago 2021 11 19:54

Função quadrática - Conjunto imagem de uma função dada por mais de uma sentença

Mensagem não lida por inguz »

Determine o conjunto imagem e o conjunto domínio dessa função dada por mais de uma setença:
g(x)= [tex3]\begin{cases}
x²+2x +2, se, x \leq 1 \\
2x-1,se, x >1
\end{cases}[/tex3]

Galerinha, a análise de cada função e seus respectivos intervalos resultou nesse gráfico do anexo.
Resposta

Im(f)=R
D(f)=R
Anexos
20210811_193709.jpg
20210811_193709.jpg (110.05 KiB) Exibido 10194 vezes

Obs: Altamente interessada em física clássica, matemática e em ressuscitar meu usuário neste Fórum :shock:
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AnthonyC
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Nov 2021 04 16:17

Re: Função quadrática - Conjunto imagem de uma função dada por mais de uma sentença

Mensagem não lida por AnthonyC »

Então amigo, o gráfico e o gabarito que você mandou não é da função que você deu. O gráfico da imagem é da função [tex3]f(x)=\begin{cases}
-x^2+4,~~~~ \text{se } x \leq 1 \\
3x,~~~~ \text{se } x >1
\end{cases}[/tex3]

Vou supor que a função que escrevi é a que você tinha interesse, para eu poder resolver a questão.

Quanto ao domínio, como polinômios estão definidos para qualquer valor de [tex3]x[/tex3] , então [tex3]\text{D}(f)=\mathbb{R}[/tex3].

Quanto a imagem:
  • Para [tex3]x\gt 1[/tex3] , temos que [tex3]f(x)=3x[/tex3] e [tex3]3x>3\cdot1=3[/tex3] . Portanto, para esta parte, temos como imagem [tex3](3,\infty)[/tex3] .
  • Para [tex3]x\leq 1[/tex3] , temos que [tex3]f(x)=-x^2+4[/tex3] . Como temos uma parábola de concavidade para baixo, então a imagem dela vai de [tex3]-\infty[/tex3] até seu ponto máximo. Vemos que [tex3]x^2\geq 0\implies -x^2\leq 0\implies 4-x^2\leq 4[/tex3] . Portanto, temos que [tex3]f(x)\leq 4, \text{ se } x\leq 1[/tex3] . Portanto, para esta parte, temos como imagem [tex3](-\infty,4][/tex3] .
Assim, temos [tex3]\text{Im}(f)=(-\infty,4]\cap (3,\infty)=\mathbb{R}[/tex3].

[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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