Física III ⇒ (FB) Campo magnético Tópico resolvido

[Deleted User 23699]

Um cilindro condutor muito longo contém duas cavidades cilíndricas, como mostra o diagrama. Ache o campo magnético produzido no ponto P exatamente a seguir da superfície do cilindro, sendo a corrente total no condutor i e a densidade de corrente uniforme sobre sua seção.

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Resposta

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[tex3]\frac{3\mu _0i}{5\pi R}[/tex3]

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[tex3]\frac{3\mu _0i}{5\pi R}[/tex3]

[παθμ]

Seja "1" o cilindro grande, de raio R, "2" o cilindro pequeno à esquerda e "3" o cilindro pequeno à direita.

A área hachurada é [tex3]\frac{\pi R^2}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi R^2}{2}[/tex3]

. Assim, a densidade superficial de corrente é [tex3]\sigma=\frac{2I}{\pi R^2}[/tex3]

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[tex3]\sigma=\frac{2I}{\pi R^2}[/tex3]

.

Pelo princípio da superposição, o sistema do problema consiste em um cilindro de raio [tex3]R[/tex3]

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[tex3]R[/tex3]

, com uma densidade de corrente [tex3]\sigma[/tex3]

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[tex3]\sigma[/tex3]

, um cilindro de raio R/2 à esquerda, com densidade de corrente [tex3]-\sigma[/tex3]

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[tex3]-\sigma[/tex3]

(ou seja, no sentido oposto) e um cilindro de raio R/2 à direita, com densidade de corrente também [tex3]-\sigma[/tex3]

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[tex3]-\sigma[/tex3]

.

A corrente no cilindro 1 é [tex3]I_1=\sigma \pi R^2=2I[/tex3]

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[tex3]I_1=\sigma \pi R^2=2I[/tex3]

, e sua contribuição para o campo magnético em P é [tex3]B_1=\frac{\mu_0 \times 2I}{2\pi R}=\frac{\mu _0I}{\pi R}[/tex3]

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[tex3]B_1=\frac{\mu_0 \times 2I}{2\pi R}=\frac{\mu _0I}{\pi R}[/tex3]

, apontando para a direita, conforme a regra da mão direita.

A corrente no cilindro 2 é [tex3]I_2=\sigma \frac{\pi R^2}{4}=\frac{I}{2}[/tex3]

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[tex3]I_2=\sigma \frac{\pi R^2}{4}=\frac{I}{2}[/tex3]

.

b771bd61-448f-4142-a74f-ce61802b83fd.jpeg (17.85 KiB) Exibido 341 vezes

[tex3]d=\frac{\sqrt{5}R}{2}[/tex3]

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[tex3]d=\frac{\sqrt{5}R}{2}[/tex3]

, [tex3]\sin(\theta)=\frac{2\sqrt{5}}{5}[/tex3]

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[tex3]\sin(\theta)=\frac{2\sqrt{5}}{5}[/tex3]

O campo magnético que esse cilindro gera no ponto P é [tex3]B_2=\frac{\mu_0 I_2}{2\pi d}=\frac{\mu_0 I}{2\sqrt{5} \pi R}[/tex3]

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[tex3]B_2=\frac{\mu_0 I_2}{2\pi d}=\frac{\mu_0 I}{2\sqrt{5} \pi R}[/tex3]

Evidentemente, o campo magnético produzido pelo cilindro 3 possui o mesmo módulo e é simétrico a [tex3]B_2[/tex3]

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[tex3]B_2[/tex3]

em relação à horizontal pontilhada. Por isso, a resultante desses dois cilindros é horizontal para a esquerda com módulo [tex3]2B_2 \sin(\theta)=\frac{2\mu_0 I}{5\pi R}[/tex3]

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[tex3]2B_2 \sin(\theta)=\frac{2\mu_0 I}{5\pi R}[/tex3]

.

Assim, o campo magnético no ponto P é [tex3]\frac{\mu_0I}{\pi R}-\frac{2\mu_0 I}{5\pi R}=[/tex3]

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[tex3]\frac{\mu_0I}{\pi R}-\frac{2\mu_0 I}{5\pi R}=[/tex3]

[tex3]\frac{3\mu_0I}{5\pi R}[/tex3], para a direita