O tema da questão são operações entre funções pares e ímpares e compostas.
Infelizmente eu não sei demonstrar cada princípio desse tema, que são:
I) A soma/subtração de duas funções pares resulta em uma função par
Ex: f(x) = x² e g(x) = [tex3]x^4[/tex3]
, ambas são pares, e f(x)+g(x) = [tex3]x² + x^4[/tex3]
também é par
II) A soma/subtração de duas funções ímpares resulta em uma função ímpar
Ex: f(x) = x e g(x) = [tex3]x^3[/tex3]
, ambas são ímpares, e f(x)+g(x) = [tex3]x + x^3[/tex3]
também é ímpar
III) O produto de duas funções pares resulta em uma função par
Ex: f(x) = x² e g(x) = [tex3]x^4[/tex3]
ambas são pares, e f(x).g(x) = [tex3]x².x^4 = x^6[/tex3]
também é par
IV) O produto de duas funções ímpares resulta numa função par
Ex: f(x) = x e g(x) = [tex3]x^3[/tex3]
ambas são ímpares, e f(x).g(x) = [tex3]x.x^3 = x^4[/tex3]
também é par
V) O produto de uma função par e outra ímpar resulta numa função ímpar
Ex: f(x) = x² e g(x) = [tex3]x^3[/tex3]
com f(x) par e g(x) ímpar, e f(x).g(x) = [tex3]x².x^3 = x^5[/tex3]
é ímpar
VI) A soma ou subtração de uma função par com uma constante
não altera a paridade da função.
Ex: f(x) = x² é par, e f(x) = x²+3 também é par
VII) A soma ou subtração de uma função ímpar com uma constante altera sua paridade.
Ex: f(x) = x³ é uma função ímpar, no entanto f(x) = x³ + 1 é par
VIII) O produto de uma função par ou ímpar com uma constante
não altera sua paridade.
Ex: f(x) = x é ímpar, e f(x) = 2x também é impar (constante 2 multiplicada pelo x)
f(x) = x² é par, e f(x) = x²/2 também é par (constante 1/2 multiplicada por x²)
IX) Em funções compostas, se ambas são pares a função composta também é par
Ex: f(x) = x² e g(x)= [tex3]x^4[/tex3]
, então f(g(x)) = [tex3](x^4)^2 = x^8[/tex3]
é par
X) Se ambas forem ímpares a função composta é ímpar
Ex: f(x) = x e g(x)= [tex3]x^3[/tex3]
, então f(g(x)) = [tex3](x^3)¹ = x^3[/tex3]
é ímpar
XI) Se f(x) é par e g(x) é ímpar então f(g(x)) é par (a paridade de g(x)
não altera a composta)
Ex: Ex: f(x) = x² e g(x)= [tex3]x^3[/tex3]
, então f(g(x)) = [tex3](x^3)^2 = x^6[/tex3]
é par
XII) Se f(x) é par e g(x) é ímpar então g(f(x)) é par (a paridade de f(x) altera a composta)
Ex: f(x) = x² e g(x)= [tex3]x^3[/tex3]
, então g(f(x)) = [tex3](x^2)^3 = x^6[/tex3]
é par
XIII)
Todas as funções constantes são pares.
Ex: f(x) = 5 é par
Um macete pra resolver seria pensar no jogo de sinais, positivo com positivo, negativo com negativo, positivo com negativo. Onde Par significa positivo e ímpar significa negativo.
Agora se dirigindo pra questão:
I) Se f é par e g é ímpar então: f . g é ímpar
Então afirmativa I correta
II) Se f é par e g é ímpar então: f(g(x)) é par, já que como visto nas propriedades a paridade de g(x) não altera a paridade da composta porque f(x) é par
Então afirmativa II correta também
III) Se f é par e g é ímpar então: g(f(x)) é par, pois como visto nas propriedades a paridade de f(x) altera a paridade da composta porque g(x) é impar
Então a afirmativa III é incorreta.
Verdadeiras apenas I e II
Se ficou alguma duvida pode falar, espero ter ajudado
Os melhores momentos dá vida acontecem no inesperado, no ocasional, nos momentos em que não esperamos que aconteçam.
Paulo Cuba
