IME/ITA ⇒ Centro de massa de infinitas partículas (Simulado ITA) Tópico resolvido

[iSousa]

Ao longo de uma reta são distribuídos, em intervalos iguais a [tex3]d[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d[/tex3]

, pontos materiais de massas
[tex3]m, m/2, m/4, m/8, ...[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m, m/2, m/4, m/8, ...[/tex3]

. Determinar o centro de massa do sistema.

Exercicio.png (4.25 KiB) Exibido 1026 vezes

A( ) A posição do centro de massa coincide com a de [tex3]m[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m[/tex3]

B( ) A posição do centro de massa coincide com a de [tex3]m/2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m/2[/tex3]

C( ) A posição do centro de massa coincide com a de [tex3]m/4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m/4[/tex3]

D( ) O centro de massa equidista de [tex3]m/2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m/2[/tex3]

e [tex3]m/4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m/4[/tex3]

E( ) O centro de massa equidista de [tex3]m[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m[/tex3]

e [tex3]m/2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m/2[/tex3]

Resposta

---

Letra (B): A posição do centro de massa coincide com a de [tex3]m/2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m/2[/tex3]

[FelipeMartin]

vamos colocar umas coordenadas nessas partículas a partir da partícula de massa [tex3]m[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m[/tex3]

:

[tex3]x_C = \frac{m \cdot 0 + \frac m2 d + \frac m4 (2d) + ... + \frac m {2^n} \cdot n d + ...}{m + \frac m2 + \frac m4 + ...} = [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_C = \frac{m \cdot 0 + \frac m2 d + \frac m4 (2d) + ... + \frac m {2^n} \cdot n d + ...}{m + \frac m2 + \frac m4 + ...} = [/tex3]

[tex3]= d \frac{\sum_{n=1}^{\infty} \frac n {2^n}}{\sum_{n=0}^{\infty} \frac 1 {2^n}} = \frac d2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac n {2^n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]= d \frac{\sum_{n=1}^{\infty} \frac n {2^n}}{\sum_{n=0}^{\infty} \frac 1 {2^n}} = \frac d2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac n {2^n}[/tex3]

agora é calcular [tex3]\sum_{n=1}^{\infty} \frac n {2^n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{n=1}^{\infty} \frac n {2^n}[/tex3]

, dá pra fazer de forma intuitiva por séries e derivadas (tem aqui no fórum já); mas é mais rápido por soma por partes:

[tex3]\sum_{n=1}^{m} \frac1{2^n} = \frac{m+1}{2^m} - \frac12 + \sum_{n=2}^{m}n(\frac1{2^n})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{n=1}^{m} \frac1{2^n} = \frac{m+1}{2^m} - \frac12 + \sum_{n=2}^{m}n(\frac1{2^n})[/tex3]

donde

[tex3]1 = - \frac12 + \sum_{n=2}^{\infty}n(\frac1{2^n})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1 = - \frac12 + \sum_{n=2}^{\infty}n(\frac1{2^n})[/tex3]

[tex3]\frac32 = \sum_{n=2}^{\infty}n(\frac1{2^n})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac32 = \sum_{n=2}^{\infty}n(\frac1{2^n})[/tex3]

[tex3]2 = \sum_{n=1}^{\infty}n(\frac1{2^n})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2 = \sum_{n=1}^{\infty}n(\frac1{2^n})[/tex3]

Então [tex3]x_C = d[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_C = d[/tex3]

, que corresponde à posição da partícula de massa [tex3]\frac m2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac m2[/tex3]

.