IME / ITA ⇒ (AFA 2011) Números Complexos Tópico resolvido

[GauchoEN]

O valor de n tal que [tex3]\sum_{j=1}^{n}(1+i)^{j}=31+i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{j=1}^{n}(1+i)^{j}=31+i[/tex3]

, sendo i a unidade imaginária, é

a) par menor que 10
b) primo maior que 8
c) ímpar menor que 7
d) múltiplo de 9

Resposta

---

gabarito letra D

[JohnnyEN]

olá,

[tex3]\sum_{j=1}^{n}(1+i)^{j}=31+i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{j=1}^{n}(1+i)^{j}=31+i[/tex3]

[tex3](1+i) +(1+i)^2+(1+i)^3+...+(1+i)^{n}=31+i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](1+i) +(1+i)^2+(1+i)^3+...+(1+i)^{n}=31+i[/tex3]

o somatório é uma PG onde podemos escrever da seguinte forma:

[tex3]\frac{(1+i)((1+i)^{n}-1)}{1+i-1}=31+i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(1+i)((1+i)^{n}-1)}{1+i-1}=31+i[/tex3]

[tex3]\frac{(1+i)((1+i)^{n}-1)}{i}=31+i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(1+i)((1+i)^{n}-1)}{i}=31+i[/tex3]

[tex3]{(1+i)((1+i)^{n}-1)}=31i-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{(1+i)((1+i)^{n}-1)}=31i-1[/tex3]

[tex3]{(1+i)(1+i)^{n}-1-i}=31i-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{(1+i)(1+i)^{n}-1-i}=31i-1[/tex3]

[tex3](1+i)(1+i)^{n}=32i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](1+i)(1+i)^{n}=32i[/tex3]

[tex3](1+i)^{n}=16(1+i)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](1+i)^{n}=16(1+i)[/tex3]

[tex3](1+i)^{n-1}=16[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](1+i)^{n-1}=16[/tex3]

[tex3]\sqrt{2}^{n-1}[cos(n-1)\frac{\pi }{4}+isen(n-1)\frac{\pi }{4}]=16[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{2}^{n-1}[cos(n-1)\frac{\pi }{4}+isen(n-1)\frac{\pi }{4}]=16[/tex3]

como na parte direita o numero imaginario é nulo ent

[tex3]sen(n-1)\frac{\pi }{4}=sen2\pi \rightarrow (n-1)=8\rightarrow n=9[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]sen(n-1)\frac{\pi }{4}=sen2\pi \rightarrow (n-1)=8\rightarrow n=9[/tex3]