Resposta
189
Ensino Médio ⇒ Critérios de Divisibilidade Tópico resolvido
Mai 2021
21
18:46
Critérios de Divisibilidade
(Argentina-96) Quantos números de 15 dígitos que utilizam exclusivamente os dígitos 3 e 8 são múltiplos de 11?
189
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Ittalo25
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Mai 2021
22
01:52
Re: Critérios de Divisibilidade
No livro elementos da matemática o Rufino dá como gabarito 189
No livro técnicas em olímpiadas de matemática o mesmo Rufino dá 532 como gabarito
Eu encontrei 210
csmarcelo o que acha?
No livro técnicas em olímpiadas de matemática o mesmo Rufino dá 532 como gabarito
Eu encontrei 210
csmarcelo o que acha?
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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Ittalo25
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Mai 2021
23
18:46
Re: Critérios de Divisibilidade
Esse código em python mostra que a resposta é 210 mesmo:
Seja o número múltiplo de 11 e com 15 algarismos: [tex3]x = \overline{a_{15}a_{14}....a_2a_1}[/tex3]
Sendo i a soma dos algarismos [tex3]a_j [/tex3] tal que j é ímpar, e p a soma dos algarismos [tex3]a_n [/tex3] tal que n é par.
Então:
[tex3]\begin{cases}
24 = 8\cdot 3\leq i \leq 8 \cdot 8 = 64 \\
21 = 7\cdot 3\leq p \leq 7 \cdot 8 = 56
\end{cases}[/tex3]
Colocando x na base 10 e usando que [tex3]a_{n} \cdot 10^{n-1} \equiv a_n \cdot (-1)^{n-1} \mod(11) [/tex3] . Fica claro que para x ser múltiplo de 11 devemos ter [tex3]|i-p| [/tex3] múltiplo de 11 (famoso critério de divisbilidade por 11), mas [tex3]|i-p| \leq 64-21= 43 [/tex3]
Ou seja: [tex3]|i-p| \in \{0,11,22,33\} [/tex3]
Além disso: [tex3]8 \equiv -3 \mod(11) [/tex3] e [tex3]3 \equiv 3 \mod(11) [/tex3]
Ou seja: [tex3]|p-i| \equiv 3a-3b \equiv 3\cdot (a-b) \equiv 0 \mod(11) [/tex3] para naturais a e b tais que [tex3]a+b = 15 [/tex3]
Então:
[tex3]a-b = 0\rightarrow a=b [/tex3] . Contradição já que [tex3]a+b=15 [/tex3]
[tex3]a-b = 11\rightarrow a=13\rightarrow b=2 [/tex3] .
[tex3]a-b = 22 > 15 = a+b [/tex3] , contradição já que a e b são naturais.
Então de fato: [tex3]\begin{cases}
a=13 \\
b=2
\end{cases}[/tex3]
Em outras palavras, teremos 2 algarismos tais que [tex3]-3 \mod(11) [/tex3] e 13 algarismos tais que [tex3]3 \mod(11) [/tex3]
Para [tex3]p-i = 3a - 3b = 33 [/tex3]
[tex3]3 \rightarrow 3[/tex3] se na posição par e [tex3]3 \rightarrow -3[/tex3] se na posição ímpar
[tex3]8 \rightarrow -3[/tex3] se na posição par e [tex3]8 \rightarrow 3[/tex3] se na posição ímpar
Então os casos são:
- 2 algarismos 3 na posição ímpar, 6 algarismos 8 na posição ímpar, 7 algarismos 3 na posição par: [tex3]C_{2}^{8} =28[/tex3]
- 2 algarismos 8 na posição par, 5 algarismos 3 na posição par, 8 algarismos 8 na posição ímpar: [tex3]C_{2}^{7} = 21[/tex3]
- 1 algarismo 3 na posição ímpar, 7 algarismos 8 na posição ímpar, 1 algarismo 8 na posição par e 6 algarismos 3 na posição par: [tex3]C_{1}^{8}\cdot C_{1}^{7} = 56[/tex3]
Para [tex3]i-p =3b-3a = -33 [/tex3]
[tex3]3 \rightarrow 3[/tex3] se na posição ímpar e [tex3]3 \rightarrow -3[/tex3] se na posição par
[tex3]8 \rightarrow -3[/tex3] se na posição ímpar e [tex3]8 \rightarrow 3[/tex3] se na posição par
Então os casos são:
- 2 algarismos 3 na posição par, 5 algarismos 8 na posição par, 8 algarismos 3 na posição ímpar: [tex3]C_{2}^{7} =21[/tex3]
- 2 algarismos 8 na posição ímpar, 6 algarismos 3 na posição ímpar, 7 algarismos 8 na posição par: [tex3]C_{2}^{8} = 28[/tex3]
- 1 algarismo 3 na posição par, 7 algarismos 8 na posição par, 1 algarismo 8 na posição ímpar e 6 algarismos 3 na posição ímpar: [tex3]C_{1}^{8}\cdot C_{1}^{7} = 56[/tex3]
Assim, o total de números é: [tex3]2 \cdot (21+28+56) = \boxed{210} [/tex3]
Off Topic
import itertools
print(len([int(''.join(i)) for i in list(itertools.product("38", repeat=15)) if not int(''.join(i)) % 11]))
print(len([int(''.join(i)) for i in list(itertools.product("38", repeat=15)) if not int(''.join(i)) % 11]))
Sendo i a soma dos algarismos [tex3]a_j [/tex3] tal que j é ímpar, e p a soma dos algarismos [tex3]a_n [/tex3] tal que n é par.
Então:
[tex3]\begin{cases}
24 = 8\cdot 3\leq i \leq 8 \cdot 8 = 64 \\
21 = 7\cdot 3\leq p \leq 7 \cdot 8 = 56
\end{cases}[/tex3]
Colocando x na base 10 e usando que [tex3]a_{n} \cdot 10^{n-1} \equiv a_n \cdot (-1)^{n-1} \mod(11) [/tex3] . Fica claro que para x ser múltiplo de 11 devemos ter [tex3]|i-p| [/tex3] múltiplo de 11 (famoso critério de divisbilidade por 11), mas [tex3]|i-p| \leq 64-21= 43 [/tex3]
Ou seja: [tex3]|i-p| \in \{0,11,22,33\} [/tex3]
Além disso: [tex3]8 \equiv -3 \mod(11) [/tex3] e [tex3]3 \equiv 3 \mod(11) [/tex3]
Ou seja: [tex3]|p-i| \equiv 3a-3b \equiv 3\cdot (a-b) \equiv 0 \mod(11) [/tex3] para naturais a e b tais que [tex3]a+b = 15 [/tex3]
Então:
[tex3]a-b = 0\rightarrow a=b [/tex3] . Contradição já que [tex3]a+b=15 [/tex3]
[tex3]a-b = 11\rightarrow a=13\rightarrow b=2 [/tex3] .
[tex3]a-b = 22 > 15 = a+b [/tex3] , contradição já que a e b são naturais.
Então de fato: [tex3]\begin{cases}
a=13 \\
b=2
\end{cases}[/tex3]
Em outras palavras, teremos 2 algarismos tais que [tex3]-3 \mod(11) [/tex3] e 13 algarismos tais que [tex3]3 \mod(11) [/tex3]
Para [tex3]p-i = 3a - 3b = 33 [/tex3]
[tex3]3 \rightarrow 3[/tex3] se na posição par e [tex3]3 \rightarrow -3[/tex3] se na posição ímpar
[tex3]8 \rightarrow -3[/tex3] se na posição par e [tex3]8 \rightarrow 3[/tex3] se na posição ímpar
Então os casos são:
- 2 algarismos 3 na posição ímpar, 6 algarismos 8 na posição ímpar, 7 algarismos 3 na posição par: [tex3]C_{2}^{8} =28[/tex3]
- 2 algarismos 8 na posição par, 5 algarismos 3 na posição par, 8 algarismos 8 na posição ímpar: [tex3]C_{2}^{7} = 21[/tex3]
- 1 algarismo 3 na posição ímpar, 7 algarismos 8 na posição ímpar, 1 algarismo 8 na posição par e 6 algarismos 3 na posição par: [tex3]C_{1}^{8}\cdot C_{1}^{7} = 56[/tex3]
Para [tex3]i-p =3b-3a = -33 [/tex3]
[tex3]3 \rightarrow 3[/tex3] se na posição ímpar e [tex3]3 \rightarrow -3[/tex3] se na posição par
[tex3]8 \rightarrow -3[/tex3] se na posição ímpar e [tex3]8 \rightarrow 3[/tex3] se na posição par
Então os casos são:
- 2 algarismos 3 na posição par, 5 algarismos 8 na posição par, 8 algarismos 3 na posição ímpar: [tex3]C_{2}^{7} =21[/tex3]
- 2 algarismos 8 na posição ímpar, 6 algarismos 3 na posição ímpar, 7 algarismos 8 na posição par: [tex3]C_{2}^{8} = 28[/tex3]
- 1 algarismo 3 na posição par, 7 algarismos 8 na posição par, 1 algarismo 8 na posição ímpar e 6 algarismos 3 na posição ímpar: [tex3]C_{1}^{8}\cdot C_{1}^{7} = 56[/tex3]
Assim, o total de números é: [tex3]2 \cdot (21+28+56) = \boxed{210} [/tex3]
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csmarcelo
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Mai 2021
24
10:32
Re: Critérios de Divisibilidade
Tentei resolver ontem de manhã, mas não consegui. Acabei também apelando para programação agora cedo e também cheguei em 210.
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