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Então,
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A) 1/4
B) 1/2
C) 1
D)3/2
E)2
Resposta
B
Pré-Vestibular ⇒ Função logarítmica/Fuvest-SP Tópico resolvido
Abr 2021
24
17:59
Função logarítmica/Fuvest-SP
O número real a é o menor dentre os valores de x que satisfazem a equação.
Então, é igual a:
A) 1/4
B) 1/2
C) 1
D)3/2
E)2
B
Então, é igual a:
A) 1/4
B) 1/2
C) 1
D)3/2
E)2
B
-
NathanMoreira
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Abr 2021
26
15:02
Re: Função logarítmica/Fuvest-SP
Harison ,
[tex3]2.\log_2(1+\sqrt{2}.x)-\log_2(\sqrt{2}.x)=3[/tex3]
[tex3]\log_2(1+\sqrt{2}.x)^2-\log_2(\sqrt{2}.x)=3[/tex3]
[tex3]\log_2\left[\frac{(1+\sqrt{2}.x)^2}{\sqrt{2}.x}\right]=3[/tex3]
[tex3]\frac{(1+\sqrt{2}.x)^2}{\sqrt{2}.x}=8[/tex3]
[tex3](1+\sqrt{2}.x)^2=8.\sqrt{2}.x[/tex3]
[tex3]1+2.\sqrt{2}.x+2.x^2=8.\sqrt{2}.x[/tex3]
[tex3]2.x^2-6.\sqrt{2}.x+1=0[/tex3]
[tex3]x=\frac{6.\sqrt{2}\pm \sqrt{72-8}}{4}[/tex3]
[tex3]x=\frac{6.\sqrt{2}\pm \sqrt{64}}{4}[/tex3]
[tex3]x=\frac{6.\sqrt{2}\pm 8}{4}[/tex3]
[tex3]x_1=\frac{6.\sqrt{2}+ 8}{4}=\frac{3.\sqrt{2}+ 4}{2}[/tex3]
[tex3]x_2=\frac{6.\sqrt{2}- 8}{4}=\frac{3.\sqrt{2}- 4}{2}[/tex3]
Como ele quer a menor das raízes, temos [tex3]\boxed{x_2=a=\frac{3.\sqrt{2}- 4}{2}}[/tex3]
[tex3]\log_2\left(\frac{2.a+4}{3}\right)[/tex3]
[tex3]=\log_2\left[\frac{2.\left(\frac{3.\sqrt{2}- 4}{2}\right)+4}{3}\right][/tex3]
[tex3]=\log_2\left(\frac{3.\sqrt{2}-4+4}{3}\right)[/tex3]
[tex3]=\log_2\left(\frac{3.\sqrt{2}}{3}\right)[/tex3]
[tex3]=\log_2(\sqrt{2})[/tex3]
[tex3]=\log_22^ {\frac{1}{2}}[/tex3]
[tex3]{\color{red}\boxed{=\frac{1}{2}}}[/tex3]
[tex3]2.\log_2(1+\sqrt{2}.x)-\log_2(\sqrt{2}.x)=3[/tex3]
[tex3]\log_2(1+\sqrt{2}.x)^2-\log_2(\sqrt{2}.x)=3[/tex3]
[tex3]\log_2\left[\frac{(1+\sqrt{2}.x)^2}{\sqrt{2}.x}\right]=3[/tex3]
[tex3]\frac{(1+\sqrt{2}.x)^2}{\sqrt{2}.x}=8[/tex3]
[tex3](1+\sqrt{2}.x)^2=8.\sqrt{2}.x[/tex3]
[tex3]1+2.\sqrt{2}.x+2.x^2=8.\sqrt{2}.x[/tex3]
[tex3]2.x^2-6.\sqrt{2}.x+1=0[/tex3]
[tex3]x=\frac{6.\sqrt{2}\pm \sqrt{72-8}}{4}[/tex3]
[tex3]x=\frac{6.\sqrt{2}\pm \sqrt{64}}{4}[/tex3]
[tex3]x=\frac{6.\sqrt{2}\pm 8}{4}[/tex3]
[tex3]x_1=\frac{6.\sqrt{2}+ 8}{4}=\frac{3.\sqrt{2}+ 4}{2}[/tex3]
[tex3]x_2=\frac{6.\sqrt{2}- 8}{4}=\frac{3.\sqrt{2}- 4}{2}[/tex3]
Como ele quer a menor das raízes, temos [tex3]\boxed{x_2=a=\frac{3.\sqrt{2}- 4}{2}}[/tex3]
[tex3]\log_2\left(\frac{2.a+4}{3}\right)[/tex3]
[tex3]=\log_2\left[\frac{2.\left(\frac{3.\sqrt{2}- 4}{2}\right)+4}{3}\right][/tex3]
[tex3]=\log_2\left(\frac{3.\sqrt{2}-4+4}{3}\right)[/tex3]
[tex3]=\log_2\left(\frac{3.\sqrt{2}}{3}\right)[/tex3]
[tex3]=\log_2(\sqrt{2})[/tex3]
[tex3]=\log_22^ {\frac{1}{2}}[/tex3]
[tex3]{\color{red}\boxed{=\frac{1}{2}}}[/tex3]
Dou aulas particulares de matemática.
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