Pré-Vestibular ⇒ (UFMG-Adptado) Função Afim Tópico resolvido

[Harison]

Observe esta figura:

20210327_183006.jpg (13.68 KiB) Exibido 2603 vezes

Na figura, L₁ e L₂ são segmentos de reta que ligam os pontos (0,2), (2,2) e (4,0).

Uma função [tex3]f:[0,4]\rightarrow\mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]f:[0,4]\rightarrow\mathbb{R}[/tex3]

é definida associando-se a cada t [tex3]\in [0,4][/tex3]

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[tex3]\in [0,4][/tex3]

o valor da área da região limitada pelos eixos coordenados, pela reta vertical que intercepta o eixo das abscissas no ponto (t,0) e pela linha formada pelos segmentos L₁ e/ou L₂. Por exemplo, o valor de f(5/2) é a área da região colorida na figura.

Considerando essas informações:

A) Determine os valores de [tex3]f(1)[/tex3]

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[tex3]f(1)[/tex3]

e [tex3]f(3).[/tex3]

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[tex3]f(3).[/tex3]

B) Determine as expressões de f(t) para [tex3]0\leq t\leq 2[/tex3]

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[tex3]0\leq t\leq 2[/tex3]

e para [tex3]2<t \leq4[/tex3]

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[tex3]2<t \leq4[/tex3]

.

Resposta

---

attachment=1]20210327_184118.jpg[/attachment

[petras]

Harison,

f(1) é a área de base 1 e altura 2 portanto f(1) = 2
f(3) é área do retângulo mais a área do trapézio
Reta L2 : m = [tex3]\frac{0-2}{4-2}=-1\rightarrow y = -x + b\rightarrow y = -x+4\\
para~x=3\rightarrow y = 1\\
S_{trap}=\frac{2+1}{2}.1=\frac{3}{2}\\
f(3) =2.2+\frac{3}{2}=\boxed{\color{red}\frac{11}{2}} [/tex3]

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[tex3]\frac{0-2}{4-2}=-1\rightarrow y = -x + b\rightarrow y = -x+4\\
para~x=3\rightarrow y = 1\\
S_{trap}=\frac{2+1}{2}.1=\frac{3}{2}\\
f(3) =2.2+\frac{3}{2}=\boxed{\color{red}\frac{11}{2}} [/tex3]

2) [tex3]0\leq t\leq 2[/tex3]

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[tex3]0\leq t\leq 2[/tex3]

Altura 2, base t portanto S = 2t


Para o intervalo ]2, 4] a fórmula deverá ser a área do trapézio ACPE:

[tex3]Sendo \ EB = 4 - t \rightarrow AE = h = t - 2, \ EP = b\\
\Delta_{CAB} \sim \Delta_{PEB} :\frac{AC}{AB} = \frac{EP}{EB} \rightarrow \frac{2}{2} = \frac{b}{(4 - t)}\rightarrow b = 4 - t
[/tex3]

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[tex3]Sendo \ EB = 4 - t \rightarrow AE = h = t - 2, \ EP = b\\
\Delta_{CAB} \sim \Delta_{PEB} :\frac{AC}{AB} = \frac{EP}{EB} \rightarrow \frac{2}{2} = \frac{b}{(4 - t)}\rightarrow b = 4 - t
[/tex3]

[tex3]\mathsf{S = \frac{(AC + EP).AE}{2} = \frac{(2 + b).h}{2} =\frac{ (2 + 4 - t).(t - 2)}{2} \rightarrow\\
= 4+ \frac{(6 - t).(t - 2)}{2} = \frac{ (6t-12-t^2+2t)}{2} = - \frac{-t^2+8t-12}{2}=\frac{-t^2}{2}+4t-6}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{S = \frac{(AC + EP).AE}{2} = \frac{(2 + b).h}{2} =\frac{ (2 + 4 - t).(t - 2)}{2} \rightarrow\\
= 4+ \frac{(6 - t).(t - 2)}{2} = \frac{ (6t-12-t^2+2t)}{2} = - \frac{-t^2+8t-12}{2}=\frac{-t^2}{2}+4t-6}[/tex3]