Física III ⇒ (FB) Eletrostática Tópico resolvido

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Um pequeno dipolo elétrico [tex3]\vec{p}[/tex3]

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[tex3]\vec{p}[/tex3]

está localizado no centro de um anel de raio R e carga Q uniformemente distribuída. O vetor momento de dipolo elétrico está perpendicular ao plano que contém o anel. Encontre a força entre o dipolo e o anel.

Resposta

---

[tex3]F=\frac{PQ}{4\pi \epsilon _0R^3}[/tex3]

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[tex3]F=\frac{PQ}{4\pi \epsilon _0R^3}[/tex3]

[παθμ]

Sabe-se que, em coordenadas polares, o potencial de um dipolo é [tex3]V(r,\theta)=\frac{p \cos(\theta)}{4\pi \epsilon_0r^2}[/tex3]

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[tex3]V(r,\theta)=\frac{p \cos(\theta)}{4\pi \epsilon_0r^2}[/tex3]

[tex3]\vec{E}=-\vec{\nabla}V=-(\frac{\partial}{\partial r}\hat{r}+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\hat{\theta})\frac{p \cos(\theta)}{4\pi \epsilon_0 r^2}[/tex3]

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[tex3]\vec{E}=-\vec{\nabla}V=-(\frac{\partial}{\partial r}\hat{r}+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\hat{\theta})\frac{p \cos(\theta)}{4\pi \epsilon_0 r^2}[/tex3]

.

Com isso, obtemos que o campo elétrico radial é [tex3]E_r=\frac{p \cos(\theta)}{2\pi \epsilon_0r^3}[/tex3]

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[tex3]E_r=\frac{p \cos(\theta)}{2\pi \epsilon_0r^3}[/tex3]

, e o tangencial [tex3]E_\theta=\frac{p \sin(\theta)}{4\pi \epsilon_0 r^3}[/tex3]

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[tex3]E_\theta=\frac{p \sin(\theta)}{4\pi \epsilon_0 r^3}[/tex3]

.

Em todos os pontos do anel, [tex3]r=R[/tex3]

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[tex3]r=R[/tex3]

e [tex3]\theta=90\degree[/tex3]

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[tex3]\theta=90\degree[/tex3]

. Logo, o campo no anel é apenas [tex3]E=\frac{p}{4\pi \epsilon_0R^3}[/tex3]

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[tex3]E=\frac{p}{4\pi \epsilon_0R^3}[/tex3]

, apontando no sentido oposto de [tex3]\vec{p}[/tex3]

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[tex3]\vec{p}[/tex3]

.

[tex3]F=QE=\frac{pQ}{4\pi \epsilon_0R^3}[/tex3], no sentido oposto a [tex3]\vec{p}[/tex3].