Física III

13 Mar 2021, 11:24

Uma carga de massa m, localizada no ponto B< desloca-se momentaneamente com velocidade v para baixo, sem efeito da gravidade, sofrendo apenas a interação elétrica com as cargas fixadas nos pontos A e C, como mostra a figura

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Em função de Q1, Q2, d, v e m, calcule, para a carga B:
a) Sua aceleração centrípeta instantânea
b) Sua aceleração tangencial instantânea
c) O raio de curvatura instantâneo de sua trajetória.

Considere a constante eletrostática k0.

Resposta

a) [tex3]\frac{469}{316368}\left(\frac{k_0Q_1Q_2}{md^2}\right)[/tex3]
b) [tex3]\frac{5}{2197}\left(\frac{k_0Q_1Q_2}{md^2}\right)[/tex3]
c) [tex3]\frac{316368}{469}\left(\frac{md^2v^2}{k_0Q_1Q_2}\right)[/tex3]

Mensagem não lidapor **joaopcarv** » 14 Mar 2021, 01:25 · Mensagem não lida por **joaopcarv** » 14 Mar 2021, 01:25

Vamos adotar um sistema de coordenadas para termos a descrição dos vetores de forma mais clara.

Considere o ponto [tex3]\mathsf{C}[/tex3] como origem de um sistema [tex3]\mathsf{(x,y)}[/tex3] . De imediato, [tex3]\mathsf{A \ = \ (0,5\cdot d)}[/tex3] e [tex3]\mathsf{B \ = \ (12 \cdot d, 5 \cdot d)}[/tex3] .
Portanto, o vetor de posição do ponto [tex3]\mathsf{B}[/tex3] em relação à origem é [tex3]\mathsf{\vec{r_1} \ = \ 12\cdot d \hat{i} \ + \ 5\cdot d\hat{j}}[/tex3] , e o vetor de [tex3]\mathsf{A}[/tex3] a [tex3]\mathsf{B}[/tex3] é [tex3]\mathsf{\vec{r_2} \ = \ 12\cdot d\hat{i}}[/tex3] .

Temos ainda que a velocidade instantânea da massa [tex3]\mathsf{m}[/tex3] é [tex3]\mathsf{\vec{v} \ = \ -v \hat{j}}[/tex3]

A força total instantânea sobre a carga em [tex3]\mathsf{B}[/tex3] é soma vetorial das contribuições de cada carga fixa.

[tex3]\mathsf{\vec{F} \ = \ \vec{F_1} \ + \ \vec{F_2}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\bullet \ \vec{F_1}:}[/tex3] Força aplicada pela carga fixada na origem ([tex3]\mathsf{\vec{r} \ = \ \vec{r_1}}[/tex3] )

A distância entre as cargas neste caso é [tex3]\mathsf{\Big|\Big|\vec{r_1}\Big|\Big| \ = \ \sqrt{25\cdot d^2 \ + \ 144 \cdot d^2} \ = \ 13 \cdot d}[/tex3] .

Temos que o versor de [tex3]\mathsf{\vec{r_1}}[/tex3] é [tex3]\mathsf{\hat{r_1} \ = \ \dfrac{\vec{r_1}}{\Big|\Big|\vec{r_1}\Big|\Big|} \ = \ \dfrac{12}{13} \hat{i} \ + \ \dfrac{5}{13} \hat{j}}[/tex3] .

Portanto, temos os elementos de [tex3]\mathsf{\vec{F_1}:}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\vec{F_1} \ = \ \dfrac{k_0 \cdot Q_1 \cdot Q_2}{\Big|\Big|\vec{r_1}\Big|\Big|^2} \cdot \hat{r_1}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{\vec{F_1} \ = \ \dfrac{k_0 \cdot Q_1 \cdot Q_2}{169 \cdot d^2} \cdot \bigg(\dfrac{12}{13} \hat{i} \ + \ \dfrac{5}{13} \hat{j}\bigg)}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\bullet \ \vec{F_2}:}[/tex3] Força aplicada pela carga fixada em [tex3]\mathsf{A}[/tex3] ([tex3]\mathsf{\vec{r} \ = \ \vec{r_2}}[/tex3] )

A distância entre as cargas neste caso é [tex3]\mathsf{\Big|\Big|\vec{r_2}\Big|\Big| \ = \ 12 \cdot d}[/tex3] , e o versor de [tex3]\mathsf{\vec{r_2}}[/tex3] é [tex3]\mathsf{\hat{i}}[/tex3] .

[tex3]\mathsf{\vec{F_2} \ = \ \dfrac{k_0 \cdot -Q_1 \cdot Q_2}{\Big|\Big|\vec{r_2}\Big|\Big|^2} \cdot \hat{r_2}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\vec{F_2} \ = \ \dfrac{-k_0 \cdot Q_1 \cdot Q_2}{144 \cdot d^2} \hat{i}}[/tex3]

Somando as contribuições, temos a força total instantânea:

[tex3]\mathsf{\vec{F} \ = \ \dfrac{k_0 \cdot Q_1 \cdot Q_2}{d^2} \cdot \bigg(\bigg(\dfrac{12}{2197} \ - \ \dfrac{1}{144}\bigg)\hat{i} \ + \ \dfrac{5}{2197 } \hat{j}\bigg)}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\vec{F} \ = \ \dfrac{k_0 \cdot Q_1 \cdot Q_2}{d^2} \cdot \bigg(\dfrac{-469}{316368}\hat{i} \ + \ \dfrac{5}{2197} \hat{j}\bigg)}[/tex3]

Por fim, vamos às questões:

a) A força centrípeta instantânea é a resultante que não realiza trabalho ou seja, cuja direção é ortogonal à velocidade. Dado que a velocidade é vertical, a centrípeta é a componente horizontal.

Portanto, [tex3]\mathsf{\vec{F_{cp}} \ = \ \dfrac{-469 \cdot k_0 \cdot Q_1 \cdot Q_2}{316368 \cdot d^2}\hat{i}}[/tex3] .

Sendo uma resultante, [tex3]\mathsf{\vec{F_{cp}} \ = \ m \cdot \vec{a_{cp}}}[/tex3] :

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{\vec{a_{cp}} \ = \ \dfrac{-469 \cdot k_0 \cdot Q_1 \cdot Q_2}{316368 \cdot d^2 \cdot m}\hat{i}}}}[/tex3]

b) A força tangencial instantânea é aquela cuja direção é paralela à velocidade. Logo:

[tex3]\mathsf{\vec{F_t} \ = \ \dfrac{5 \cdot k_0 \cdot Q_1 \cdot Q_2}{2197 \cdot d^2} \hat{j}}[/tex3]

Sendo [tex3]\mathsf{\vec{F_{t}} \ = \ m \cdot \vec{a_{t}}}[/tex3] :

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{\vec{a_{t}} \ = \ \dfrac{5 \cdot k_0 \cdot Q_1 \cdot Q_2}{2197 \cdot d^2 \cdot m} \hat{j}}}}[/tex3]

c) Da definição de aceleração centrípeta:

[tex3]\mathsf{\Big|\Big|\vec{a_{cp}}\Big|\Big| \ = \ \dfrac{||\vec{v}||^2}{R}}[/tex3] :

[tex3]\mathsf{\dfrac{469 \cdot k_0 \cdot Q_1 \cdot Q_2}{316368 \cdot d^2 \cdot m} \ = \ \dfrac{v^2}{R}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{R \ = \ \dfrac{316368 \cdot m \cdot d^2 \cdot v^2}{469 \cdot k_0 \cdot Q_1 \cdot Q_2}}}}[/tex3]

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