Física II ⇒ (FB) Dilatação Tópico resolvido

[Deleted User 23699]

Uma barra de alumínio de comprimento l = 0,5m e uma de ferro de comprimento L = 1m estão ligadas como mostra a figura. Determine o decréscimo na altura por variação de temperatura do centro de massa do sistema.

[tex3]\text{Densidade do ferro: } 8g/cm^3\\
\text{Densidade do alumínio: }4g/cm^3\\
\alpha _{Fe}=10^{-5} ºC^{-1}\\
\alpha _{Al}=2,5\times 10^{-5}ºC^{-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{Densidade do ferro: } 8g/cm^3\\
\text{Densidade do alumínio: }4g/cm^3\\
\alpha _{Fe}=10^{-5} ºC^{-1}\\
\alpha _{Al}=2,5\times 10^{-5}ºC^{-1}[/tex3]

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Resposta

---

7,25 x 10^{-6} m/ºC

[παθμ]

Considere que o índice 1 se refere ao ferro e 2 ao alumínio.

[tex3]l_1=L(1+\alpha_1 \Delta T), \; \; l_2=l(1+\alpha_2 \Delta T).[/tex3]

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[tex3]l_1=L(1+\alpha_1 \Delta T), \; \; l_2=l(1+\alpha_2 \Delta T).[/tex3]

[tex3]m_1=\rho_1 AL, \; \; m_2=\rho_2 A l,[/tex3]

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[tex3]m_1=\rho_1 AL, \; \; m_2=\rho_2 A l,[/tex3]

onde [tex3]A[/tex3]

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[tex3]A[/tex3]

é a seção transversal da barra.

Admitindo que as barras permanecem homogêneas, a distância ao teto do CM de 1 é [tex3]x_1=\frac{l_1}{2},[/tex3]

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[tex3]x_1=\frac{l_1}{2},[/tex3]

e de 2 [tex3]x_2=l_1+\frac{l_2}{2}.[/tex3]

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[tex3]x_2=l_1+\frac{l_2}{2}.[/tex3]

[tex3]x_{cm}=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}=\frac{\rho_1 L l_1+\rho_2 l (2l_1+l_2)}{2(\rho_1 L+\rho_2 l)}.[/tex3]

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[tex3]x_{cm}=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}=\frac{\rho_1 L l_1+\rho_2 l (2l_1+l_2)}{2(\rho_1 L+\rho_2 l)}.[/tex3]

Substituindo as expressões de [tex3]l_1[/tex3]

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[tex3]l_1[/tex3]

e [tex3]l_2[/tex3]

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[tex3]l_2[/tex3]

vem:

[tex3]x_{cm}=\frac{\rho_1L^2+\rho_1 L^2 \alpha_1 \Delta T+2\rho_2 l L+2\rho_2 l L \alpha_1 \Delta T+\rho_2 l^2+\rho_2 l^2 \alpha_2 \Delta T}{2(\rho_1 L+\rho_2 l)}[/tex3]

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[tex3]x_{cm}=\frac{\rho_1L^2+\rho_1 L^2 \alpha_1 \Delta T+2\rho_2 l L+2\rho_2 l L \alpha_1 \Delta T+\rho_2 l^2+\rho_2 l^2 \alpha_2 \Delta T}{2(\rho_1 L+\rho_2 l)}[/tex3]

Então: [tex3]\frac{\Delta x_{cm}}{\Delta T}=\frac{\rho_1 L^2 \alpha_1+2\rho_2 l L \alpha_1+\rho_2 l^2 \alpha_2}{2(\rho_1 L+\rho_2 l)}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\Delta x_{cm}}{\Delta T}=\frac{\rho_1 L^2 \alpha_1+2\rho_2 l L \alpha_1+\rho_2 l^2 \alpha_2}{2(\rho_1 L+\rho_2 l)}.[/tex3]

Plugando os valores numéricos obtemos [tex3]\boxed{\frac{\Delta x_{cm}}{\Delta T}=7,25 \times 10^{-6} \; m/\degree C}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\frac{\Delta x_{cm}}{\Delta T}=7,25 \times 10^{-6} \; m/\degree C}[/tex3]