IME/ITA ⇒ (Mecânica ITA/IME) Dinâmica Tópico resolvido

[careca]

Na figura, após o pêndulo ser abandonado do repouso, sua inclinação α com a vertical permanece constante. Determine a massa M do bloco e a sua aceleração em função da massa m da esfera, da aceleração da gravidade g e do ângulo α. Considere o fio e a polia ideais e despreze os atritos.

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Resposta

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𝒂 = 𝒈 ∙ 𝒕𝒈𝜶. ||| M = [tex3]\frac{(1-sen\alpha )^2.m}{sen\alpha }[/tex3]

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Fiz essa questão até certo ponto, gostaria que me ajudassem a terminá-la.

Adotando o referencial não inercial do bloco M, haverá uma força inercial para direita em "B"de módulo m.a : Segue até onde parei na minha resolução:

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[FelipeMartin]

É meio difícil traduzir essa condição no referencial não inercial.

Pense: se o ângulo com a vertical é mantido o mesmo, então [tex3]m[/tex3] deve se deslocar sobre a reta suporte do fio.

Neste caso, a aceleração fictícia cancela a componente do peso que está na direção perpendicular ao fio que é [tex3]g \sen (\alpha)[/tex3] na direção perpendicular ao fio inclinado. Só que isso é impossível, porque o bloco M não deve se mover na vertical, então não tem como essa aceleração fictícia aparecer.

O movimento que deve ocorrer é o seguinte: o bloco M e a polia se deslocam na horizontal, enquanto que o bloco m se desloca tanto na horizontal (com a mesma aceleração horizontal da polia) quanto na direção do fio inclinado.

O bloco m irá se locomover na horizontal e seguindo o movimento nas retas paralelas à reta do fio inclinado.

Fazendo o vínculo geométrico: Se [tex3]M[/tex3] se deslocar [tex3]x[/tex3] na horizontal para a direita, então a polia também se deslocará [tex3]x[/tex3] para a direita e o fio retrairá de [tex3]x[/tex3], logo [tex3]m[/tex3] deslocará [tex3]x[/tex3] na direção do fio inclinado e, portanto [tex3]x \sen (\alpha)[/tex3] na horizontal para a esquerda, enquanto também andou [tex3]x[/tex3] para a direita. Seu deslocamento total na horizontal é de [tex3]x(1-\sen (\alpha))[/tex3].

Logo, se o bloco [tex3]M[/tex3] acelerar com [tex3]a[/tex3] para a direita, o bloco [tex3]m[/tex3] irá acelerar [tex3]a(1-\sen (\alpha))[/tex3] para a direita e [tex3]a[/tex3] na direção do fio.

Façamos o equilíbrio de [tex3]M[/tex3] no referencial inercial:

[tex3]Ma = -T + T\sen (\alpha) \iff a = -\frac TM (1-\sen (\alpha))[/tex3]

O equilíbrio de [tex3]m[/tex3] no referencial inercial na horizontal:

[tex3]ma(1-\sen (\alpha)) = -T \sen(\alpha)[/tex3]

Então:

[tex3]m \frac TM (1-\sen(\alpha))^2 = T \sen (\alpha)[/tex3], então [tex3]M = m \frac{(1-\sen (\alpha))^2}{\sen (\alpha)}[/tex3].

Para encontrar [tex3]a[/tex3], pode-se fazer o equilíbrio na vertical de [tex3]m[/tex3], neste caso o deslocamento é de [tex3]x \cos (\alpha)[/tex3], logo a aceleração deverá ser [tex3]a \cos (\alpha)[/tex3]:

[tex3]m a \cos (\alpha) = T cos (\alpha) - mg \iff ma \cos (\alpha) = -ma \frac{(1-\sen (\alpha))}{\sen (\alpha)}\cos (\alpha) - mg[/tex3]

[tex3]a(\sen (\alpha)+1 - \sen (\alpha)) \cos (\alpha)= g \sen (\alpha) [/tex3]

de onde

[tex3]a = - g \tg (\alpha)[/tex3]

acho que é isso, alguma dúvida?