IME / ITA ⇒ Folha Poliedro IME/ITA (Trigonometria) Tópico resolvido

[pedrocg2008]

Já tentei por homotetia e por trigonometria e não consigo fazer, Não consegui achar essa questão na internet só em um site que a resposta está muito errada! Alguém me ajuda porfavor! E se possível teria como fazer por geometria e trigonometria?


(UFC)ABC é um triângulo retângulo em A, com catetos AB e AC de medidas respectivamente iguais a 3cm e 4cm. Com centros em B e em C, traçamos dois círculos \beta e \gamma, de raios respectivamente 3cm e 4 cm, e, em seguida, uma reta r que passa por A e intersecta \beta e \gamma respectivamente nos pontos P e Q com P, Q diferente de A. Calcule o maior valor possível do produto dos comprimentos dos segmentos PA e QA.

Resposta

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24

[snooplammer]

Uma dica, quando não estiver dando certo por geometria ou trigonometria, "apela" pra geometria analítica.

Tome [tex3]A = (0,0)[/tex3]

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[tex3]A = (0,0)[/tex3]

, ou seja, a origem.

A equação da circunferência beta [tex3]\beta : x^2+(y-3)^2=9[/tex3]

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[tex3]\beta : x^2+(y-3)^2=9[/tex3]

A equação da circunferência gamma [tex3]\gamma: (x-4)^2+y^2=16[/tex3]

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[tex3]\gamma: (x-4)^2+y^2=16[/tex3]

É dito que uma reta parte de A e toca as duas circunferências, então temos que essa reta é da forma [tex3]y=kx[/tex3]

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[tex3]y=kx[/tex3]

.

Vamos achar os pontos que essa reta toca.

Em beta, temos que [tex3]x^2+(kx-3)^2=9 \implies x = \frac{6k}{1+k^2}[/tex3]

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[tex3]x^2+(kx-3)^2=9 \implies x = \frac{6k}{1+k^2}[/tex3]

e portanto [tex3]y = \frac{6k^2}{1+k^2} [/tex3]

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[tex3]y = \frac{6k^2}{1+k^2} [/tex3]

Usando a mesma coisa com gamma, vem que [tex3]x = \frac{8}{1+k^2}[/tex3]

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[tex3]x = \frac{8}{1+k^2}[/tex3]

e [tex3]y=\frac{8k}{1+k^2}[/tex3]

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[tex3]y=\frac{8k}{1+k^2}[/tex3]

Então temos o ponto P e o ponto Q

[tex3]P = \(\frac{6k}{1+k^2},\frac{6k^2}{1+k^2}\)[/tex3]

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[tex3]P = \(\frac{6k}{1+k^2},\frac{6k^2}{1+k^2}\)[/tex3]

e [tex3]Q = \( \frac{8}{1+k^2},\frac{8k}{1+k^2} \)[/tex3]

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[tex3]Q = \( \frac{8}{1+k^2},\frac{8k}{1+k^2} \)[/tex3]

[tex3]\overline{AP} \cdot \overline {AQ } = \sqrt{\((\frac{6k}{1+k^2}\)^2 + \((\frac{6k^2}{1+k^2}\)^2} \sqrt{\((\frac{8}{1+k^2}\)^2 + \((\frac{8k}{1+k^2}\)^2}[/tex3]

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[tex3]\overline{AP} \cdot \overline {AQ } = \sqrt{\((\frac{6k}{1+k^2}\)^2 + \((\frac{6k^2}{1+k^2}\)^2} \sqrt{\((\frac{8}{1+k^2}\)^2 + \((\frac{8k}{1+k^2}\)^2}[/tex3]

Fazendo esse produto, vem que isso ali é [tex3]48\sqrt{\frac{k^2}{(k^2+1)^2}}[/tex3]

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[tex3]48\sqrt{\frac{k^2}{(k^2+1)^2}}[/tex3]

, como [tex3]k > 0[/tex3]

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[tex3]k > 0[/tex3]

, vem isso é [tex3]48 \frac{k}{k^2+1}[/tex3]

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[tex3]48 \frac{k}{k^2+1}[/tex3]

, ele pede pra achar o máximo, deriva e iguala a 0, vem que [tex3]k = 1[/tex3]

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[tex3]k = 1[/tex3]

, logo o máximo vai ser [tex3]48 \frac{1}{1^2+1} = 24[/tex3]

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[tex3]48 \frac{1}{1^2+1} = 24[/tex3]

.

[Ittalo25]

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Pela lei dos cossenos:
[tex3]\begin{cases}
PA^2 = 3^2+3^2 - 2\cdot 3 \cdot 3 \cdot cos(x) \\
QA^2 = 4^2+4^2-2\cdot 4 \cdot 4 \cdot cos(y)
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
PA^2 = 3^2+3^2 - 2\cdot 3 \cdot 3 \cdot cos(x) \\
QA^2 = 4^2+4^2-2\cdot 4 \cdot 4 \cdot cos(y)
\end{cases}[/tex3]

Mas CA é tangente a beta já que <BAC=90°, portanto: <QAC=[tex3]\frac{x}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{x}{2}[/tex3]

, de modo análogo <QAB=[tex3]\frac{y}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{y}{2}[/tex3]

, ou seja:

[tex3]\frac{x}{2}+\frac{y}{2} = 90^o\rightarrow x = 180^o-y[/tex3]

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[tex3]\frac{x}{2}+\frac{y}{2} = 90^o\rightarrow x = 180^o-y[/tex3]

Assim:

[tex3]PA \cdot QA = 24 \cdot \sqrt{1-cos(180^o-y)}\cdot \sqrt{1-cos(y)} [/tex3]

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[tex3]PA \cdot QA = 24 \cdot \sqrt{1-cos(180^o-y)}\cdot \sqrt{1-cos(y)} [/tex3]

[tex3]PA \cdot QA = 24 \cdot \sqrt{1-cos^2(y)} [/tex3]

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[tex3]PA \cdot QA = 24 \cdot \sqrt{1-cos^2(y)} [/tex3]

[tex3]PA \cdot QA = 24 \cdot |sen(y)| [/tex3]

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[tex3]PA \cdot QA = 24 \cdot |sen(y)| [/tex3]

Como [tex3]0\leq |sen(y)|\leq 1[/tex3]

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[tex3]0\leq |sen(y)|\leq 1[/tex3]

, eis que:
[tex3]\boxed{(PA \cdot QA)_{max} = 24} [/tex3]

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[tex3]\boxed{(PA \cdot QA)_{max} = 24} [/tex3]

[pedrocg2008]

Muitooo obrigado Ittalo e Snooplammer ajudaram demais!!!
Por acaso não teria um jeito de fazet só com geometria plana? Só mesmo para aumentar o repertório de como fazer tais questões! Desde já grato!

[pedrocg2008]

Alguém saberia fazer ou por homotetia ou por geometria plana????

[FelipeMartin]

Não fica muito mais simples do que a solução do Itallo, no máximo você poderia reinterpretar aquele seno como sendo um segmento no desenho, mas acho que não fica mais simples que isso.

[pedrocg2008]

Entendii! Obrigado a todos!!!