Encontre todos os inteiros positivos [tex3]a,b,c,d[/tex3]
[tex3]2^a = 3^b \cdot 5^c + 7^d[/tex3]
tais que:Olimpíadas ⇒ Teoria dos Números e Álgebra Tópico resolvido
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Jan 2021
08
18:15
Re: Teoria dos Números e Álgebra
Tô no celular aqui, mas algumas dicas:
- Olhando módulo 3: 1 = 2^a. Ou seja, a é par
- Olhando módulo 5: 2^a = 2^d. Obviamente a>d, então 2^{a-d}=1. Repara que 2^4=1. 4 é a ordem de 2 módulo 5. Ou seja, 4 divide a-d. Mas o a é par, então d também é par.
Aí você fatora a diferença de quadrados: (2+7)(2-7)....
E além disso, repare que esses 2 fatores são primos entre si. Aí basta finalizar
- Olhando módulo 3: 1 = 2^a. Ou seja, a é par
- Olhando módulo 5: 2^a = 2^d. Obviamente a>d, então 2^{a-d}=1. Repara que 2^4=1. 4 é a ordem de 2 módulo 5. Ou seja, 4 divide a-d. Mas o a é par, então d também é par.
Aí você fatora a diferença de quadrados: (2+7)(2-7)....
E além disso, repare que esses 2 fatores são primos entre si. Aí basta finalizar
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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Jan 2021
08
20:45
Re: Teoria dos Números e Álgebra
Sendo [tex3]a =2k[/tex3]
[tex3]2^{2k} - 7^{2q} = 3^b \cdot 5^c \implies (2^k-7^q)(2^k+7^q) = 3^b \cdot 5^c[/tex3]
Entendi! Mas não estou conseguindo finalizar
e [tex3]d = 2q[/tex3]
:[tex3]2^{2k} - 7^{2q} = 3^b \cdot 5^c \implies (2^k-7^q)(2^k+7^q) = 3^b \cdot 5^c[/tex3]
Entendi! Mas não estou conseguindo finalizar
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Jan 2021
09
14:03
Re: Teoria dos Números e Álgebra
Só para deixar claro o que eu disse:
Pelo lema de Euclides:
[tex3]mdc( 2^k-7^q,2^k+7^q) = mdc ( 2^k-7^q+2^k+7^q,2^k+7^q) = mdc(2^{k+1},2^k+7^q) = 1[/tex3]
3 e 5 são primos entre si também, então para [tex3](2^k-7^q)(2^k+7^q) = 3^b \cdot 5^c[/tex3]
Pelo lema de Euclides:
[tex3]mdc( 2^k-7^q,2^k+7^q) = mdc ( 2^k-7^q+2^k+7^q,2^k+7^q) = mdc(2^{k+1},2^k+7^q) = 1[/tex3]
3 e 5 são primos entre si também, então para [tex3](2^k-7^q)(2^k+7^q) = 3^b \cdot 5^c[/tex3]
Editado pela última vez por Ittalo25 em 09 Jan 2021, 19:53, em um total de 5 vezes.
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Jan 2021
09
20:23
Re: Teoria dos Números e Álgebra
Então cara, são 3 casos para resolver e na verdade não são simples:
[tex3]\begin{cases}
2^k+7^q=5^c \\
2^k-7^q=3^b
\end{cases}[/tex3]
Aqui o wolfram diz que não tem solução para q>0. Então o negócio é encontrar alguma contradição com q>0
[tex3]\begin{cases}
2^k+7^q=3^b \\
2^k-7^q=5^c
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
2^k+7^q=5^c\cdot 3^b \\
2^k-7^q=1
\end{cases}[/tex3]
Tentei bastante mas não consegui fazer nenhum desses sistemas
[tex3]\begin{cases}
2^k+7^q=5^c \\
2^k-7^q=3^b
\end{cases}[/tex3]
Aqui o wolfram diz que não tem solução para q>0. Então o negócio é encontrar alguma contradição com q>0
[tex3]\begin{cases}
2^k+7^q=3^b \\
2^k-7^q=5^c
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
2^k+7^q=5^c\cdot 3^b \\
2^k-7^q=1
\end{cases}[/tex3]
Tentei bastante mas não consegui fazer nenhum desses sistemas
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