Ensino Superior ⇒ Independência de Eventos Tópico resolvido

[medici]

Dado P(A) > 0 e P(B|[tex3]A^{c}[/tex3]

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[tex3]A^{c}[/tex3]

) = P(B|A). Provar que A e B são independentes

[deOliveira]

Primeiramente mostraremos que [tex3]A^c\cap B=B-(A\cap B)[/tex3]

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[tex3]A^c\cap B=B-(A\cap B)[/tex3]

.

Seja [tex3]x\in A^c\cap B[/tex3]

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[tex3]x\in A^c\cap B[/tex3]

dado de forma arbitrária.
[tex3]x\in A^c\cap B\implies x\in A^c\ e\ x\in B\implies x\not\in A\ e\ x\in B\\\implies x\in B\ e\ x\not\in A\cap B\implies x\in B-(A\cap B)\\\therefore
(A^c\cap B)\subset(B-(A\cap B))[/tex3]

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[tex3]x\in A^c\cap B\implies x\in A^c\ e\ x\in B\implies x\not\in A\ e\ x\in B\\\implies x\in B\ e\ x\not\in A\cap B\implies x\in B-(A\cap B)\\\therefore
(A^c\cap B)\subset(B-(A\cap B))[/tex3]

Seja [tex3]y\in B-(A\cap B)[/tex3]

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[tex3]y\in B-(A\cap B)[/tex3]

dado de forma arbitrária.
[tex3]y\in B-(A\cap B)\implies y\in B\ e\ y\not\in A\cap B\implies y\in B\ e\ y\not\in A\implies y\in B\ e\ y\in A^c\\\implies y\in A^c\cap B\\\therefore (B-(A\cap B))\subset(A^c\cap B)[/tex3]

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[tex3]y\in B-(A\cap B)\implies y\in B\ e\ y\not\in A\cap B\implies y\in B\ e\ y\not\in A\implies y\in B\ e\ y\in A^c\\\implies y\in A^c\cap B\\\therefore (B-(A\cap B))\subset(A^c\cap B)[/tex3]

Com isso, temos que [tex3]P(A^c\cap B)=P(B)-P(A\cap B)[/tex3]

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[tex3]P(A^c\cap B)=P(B)-P(A\cap B)[/tex3]

.

Temos então:

[tex3]P(A^c|B)=P(A|B)\\
\implies\frac{P(A^c\cap B)}{P(A^c)}=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\\
\implies\frac{P(B)-P(A\cap B)}{1-P(A)}=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\\
\implies P(A)P(B)-P(A)P(A\cap B)=P(A\cap B)-P(A)P(A\cap B)\\
\implies P(A)P(B)\cancel{-P(A)P(A\cap B)}=P(A\cap B)\cancel{-P(A)P(A\cap B)}\\
\therefore P(A\cap B)=P(A)P(B)[/tex3]

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[tex3]P(A^c|B)=P(A|B)\\
\implies\frac{P(A^c\cap B)}{P(A^c)}=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\\
\implies\frac{P(B)-P(A\cap B)}{1-P(A)}=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\\
\implies P(A)P(B)-P(A)P(A\cap B)=P(A\cap B)-P(A)P(A\cap B)\\
\implies P(A)P(B)\cancel{-P(A)P(A\cap B)}=P(A\cap B)\cancel{-P(A)P(A\cap B)}\\
\therefore P(A\cap B)=P(A)P(B)[/tex3]

Espero ter ajudado.