Considere os PVIs abaixo:
I) y'' − y' − 2y = 0, y(0) = α, y'(0) = 2
II) 4x'' − x = 0, x(0) = 2, x'(0) = β
a) Determine o valor de α para que a solução de I se aproxime de zero quando t → ∞;
b) Determine o valor de β para que a solução de II se aproxime de zero quando t → ∞.
Obrigada !!
o gabarito está na imagem
Ensino Superior ⇒ EDOs de segunda ordem lineares e homogêneas Tópico resolvido
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ceciliadeare
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Dez 2020
09
17:58
EDOs de segunda ordem lineares e homogêneas
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Cardoso1979
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Dez 2020
09
22:03
Re: EDOs de segunda ordem lineares e homogêneas
Observe
Muito obrigado por disponibilizar o gabarito, muito obrigado mesmo
Solução:
I) y'' - y' - 2y = 0 , y( 0 ) = [tex3]\alpha [/tex3] , y'( 0 ) = 2.
Temos
y'' - y' - 2y = 0
Equação característica ( equação auxiliar ) :
r² - r - 2 = 0
∆ = 9 > 0
Raízes [tex3]r_{1} = 2[/tex3] , [tex3]r_{2} = -1[/tex3] .
Como ∆ > 0 , segue-se que a solução da EDO é da forma [tex3]y(t) = C_{1}.e^{r_{1}.t} \ + \ C_{2}.e^{r_{2}.t}
[/tex3]
Então,
[tex3]y(t) = C_{1}.e^{2t} \ + \ C_{2}.e^{-t}[/tex3]
Por outro lado,
y( 0 ) = [tex3]\alpha [/tex3] , vem;
[tex3]y(0) = C_{1}.e^{2.0} \ + \ C_{2}.e^{-0}[/tex3]
[tex3]C_{1} \ + \ C_{2} = \alpha \ (I)[/tex3]
Ainda;
[tex3]y'(t) = (C_{1}.e^{2t})' \ + \ (C_{2}.e^{-t})'[/tex3]
[tex3]y'(t) = (2t)'.C_{1}.e^{2t} \ + \ (-t)'.C_{2}.e^{-t}[/tex3]
[tex3]y'(t) = 2C_{1}.e^{2t} - C_{2}.e^{-t}[/tex3]
y'( 0 ) = 2 , vem;
[tex3]y'(0) = 2C_{1}.e^{2.0} - C_{2}.e^{-0}[/tex3]
[tex3]2C_{1} - C_{2} = 2 \ ( II )[/tex3]
De ( I ) e ( I I ) , resulta no seguinte sistema
[tex3]\begin{cases}
C_{1} \ + \ C_{2} = \alpha \\
2C_{1} - C_{2} = 2
\end{cases}[/tex3]
Donde encontramos [tex3]C_{1} = \frac{\alpha + 2}{3}[/tex3] e [tex3]C_{2} = \frac{2\alpha - 2}{3}[/tex3] .
Assim,
[tex3]y(t) = \left(\frac{\alpha + 2}{3}\right).e^{2t} \ + \ \left(\frac{2\alpha - 2}{3}\right).e^{-t}[/tex3]
De acordo com o enunciado para que a solução de I se aproxime de zero quando t → ∞ , devemos ter
[tex3]\lim_{t \rightarrow \infty} y(t) = 0[/tex3]
[tex3]\lim_{t \rightarrow \infty} \left[\left(\frac{\alpha + 2}{3}\right).e^{2t} \ + \ \left(\frac{2\alpha - 2}{3}\right).e^{-t} \right]= 0[/tex3]
o valor desse limite só se aproxima de zero se o termo [tex3]\left(\frac{\alpha + 2}{3}\right).e^{2t} [/tex3] for igual a zero, ou seja;
[tex3]\left(\frac{\alpha + 2}{3}\right).e^{2t} = 0 [/tex3]
[tex3]\alpha + 2 = 0[/tex3]
Logo,
[tex3]\alpha = - 2[/tex3]
Portanto, o valor de α para que a solução de I se aproxime de zero quando t → ∞ , é α = - 2.
Obs.1 A II segue o "mesmo" raciocínio desta resolução
Obs.2
[tex3]\lim_{t \rightarrow \infty} \left(\frac{2\alpha - 2}{3}\right).e^{-t} =[/tex3]
[tex3]\lim_{t \rightarrow \infty} \left(\frac{2\alpha - 2}{3}\right).\frac{1}{e^t} =[/tex3]
[tex3]\left(\frac{2\alpha - 2}{3}\right).\frac{1}{e^∞} =[/tex3]
[tex3]\left(\frac{2\alpha - 2}{3}\right).\frac{1}{∞} =[/tex3]
[tex3]\left(\frac{2\alpha - 2}{3}\right).0 = 0[/tex3]
Excelente estudo!
Muito obrigado por disponibilizar o gabarito, muito obrigado mesmo
Solução:
I) y'' - y' - 2y = 0 , y( 0 ) = [tex3]\alpha [/tex3] , y'( 0 ) = 2.
Temos
y'' - y' - 2y = 0
Equação característica ( equação auxiliar ) :
r² - r - 2 = 0
∆ = 9 > 0
Raízes [tex3]r_{1} = 2[/tex3] , [tex3]r_{2} = -1[/tex3] .
Como ∆ > 0 , segue-se que a solução da EDO é da forma [tex3]y(t) = C_{1}.e^{r_{1}.t} \ + \ C_{2}.e^{r_{2}.t}
[/tex3]
Então,
[tex3]y(t) = C_{1}.e^{2t} \ + \ C_{2}.e^{-t}[/tex3]
Por outro lado,
y( 0 ) = [tex3]\alpha [/tex3] , vem;
[tex3]y(0) = C_{1}.e^{2.0} \ + \ C_{2}.e^{-0}[/tex3]
[tex3]C_{1} \ + \ C_{2} = \alpha \ (I)[/tex3]
Ainda;
[tex3]y'(t) = (C_{1}.e^{2t})' \ + \ (C_{2}.e^{-t})'[/tex3]
[tex3]y'(t) = (2t)'.C_{1}.e^{2t} \ + \ (-t)'.C_{2}.e^{-t}[/tex3]
[tex3]y'(t) = 2C_{1}.e^{2t} - C_{2}.e^{-t}[/tex3]
y'( 0 ) = 2 , vem;
[tex3]y'(0) = 2C_{1}.e^{2.0} - C_{2}.e^{-0}[/tex3]
[tex3]2C_{1} - C_{2} = 2 \ ( II )[/tex3]
De ( I ) e ( I I ) , resulta no seguinte sistema
[tex3]\begin{cases}
C_{1} \ + \ C_{2} = \alpha \\
2C_{1} - C_{2} = 2
\end{cases}[/tex3]
Donde encontramos [tex3]C_{1} = \frac{\alpha + 2}{3}[/tex3] e [tex3]C_{2} = \frac{2\alpha - 2}{3}[/tex3] .
Assim,
[tex3]y(t) = \left(\frac{\alpha + 2}{3}\right).e^{2t} \ + \ \left(\frac{2\alpha - 2}{3}\right).e^{-t}[/tex3]
De acordo com o enunciado para que a solução de I se aproxime de zero quando t → ∞ , devemos ter
[tex3]\lim_{t \rightarrow \infty} y(t) = 0[/tex3]
[tex3]\lim_{t \rightarrow \infty} \left[\left(\frac{\alpha + 2}{3}\right).e^{2t} \ + \ \left(\frac{2\alpha - 2}{3}\right).e^{-t} \right]= 0[/tex3]
o valor desse limite só se aproxima de zero se o termo [tex3]\left(\frac{\alpha + 2}{3}\right).e^{2t} [/tex3] for igual a zero, ou seja;
[tex3]\left(\frac{\alpha + 2}{3}\right).e^{2t} = 0 [/tex3]
[tex3]\alpha + 2 = 0[/tex3]
Logo,
[tex3]\alpha = - 2[/tex3]
Portanto, o valor de α para que a solução de I se aproxime de zero quando t → ∞ , é α = - 2.
Obs.1 A II segue o "mesmo" raciocínio desta resolução
Obs.2
[tex3]\lim_{t \rightarrow \infty} \left(\frac{2\alpha - 2}{3}\right).e^{-t} =[/tex3]
[tex3]\lim_{t \rightarrow \infty} \left(\frac{2\alpha - 2}{3}\right).\frac{1}{e^t} =[/tex3]
[tex3]\left(\frac{2\alpha - 2}{3}\right).\frac{1}{e^∞} =[/tex3]
[tex3]\left(\frac{2\alpha - 2}{3}\right).\frac{1}{∞} =[/tex3]
[tex3]\left(\frac{2\alpha - 2}{3}\right).0 = 0[/tex3]
Excelente estudo!
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ceciliadeare
- Mensagens: 7
- Registrado em: 09 Dez 2020, 17:48
- Última visita: 03-02-21
Dez 2020
10
11:53
Re: EDOs de segunda ordem lineares e homogêneas
Nossa fantástico, muito obrigada, me ajudou muito nessa faze de EAD ! 
-
Cardoso1979
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Dez 2020
10
12:24
Re: EDOs de segunda ordem lineares e homogêneas
ceciliadeare escreveu: ↑10 Dez 2020, 11:53 Nossa fantástico, muito obrigada, me ajudou muito nessa faze de EAD !
Disponha
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