Pré-Vestibular ⇒ (UECE 2019) Geometria Plana - Semelhança de Triângulos Tópico resolvido

[albeistein]

Considere um terreno com a forma de um triângulo retângulo cuja medida dos dois menores lados são respectivamente 30 m e 40 m. Deseja-se cercar um quadrado no interior do terreno com um dos vértices sobre o maior lado e os demais sobre os outros lados do terreno.

Nessas condições, a medida da área do quadrado, em m², será, aproximadamente, igual a

a) 294.
b) 302.
c) 290.
d) 298.

Resposta

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A

Fiz da seguinte forma e pergunto qual o equívoco:

• Hipotenusa * Altura = Produto dos catetos

Calculando a medida da hipotenusa por Pitágoras e aplicando tudo na fórmula, h = 24 m.
Ao meu ver, a altura do triângulo retângulo (relativa à hipotenusa) corresponde à diagonal do quadrado.
[tex3]h = 24 = L\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]h = 24 = L\sqrt{2}[/tex3]

[tex3]L^{2} = 288[/tex3]

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[tex3]L^{2} = 288[/tex3]

Aproximando, L² = 290.

[NigrumCibum]

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É isso que a questão deseja...[tex3]x^2\approx 294~m^2[/tex3]

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[tex3]x^2\approx 294~m^2[/tex3]

E não faz sentido a altura relativa à hipotenusa ser diagonal do quadrado, pois o triângulo não é retângulo isósceles....

[albeistein]

E não faz sentido a altura relativa à hipotenusa ser diagonal do quadrado, pois o triângulo não é retângulo isósceles....

Pode demonstrar isso?

[NigrumCibum]

albeistein, Seja ABC um triângulo retângulo. Suponha que a altura relativa à hipotenusa é diagonal do quadrado inscrito a esse triângulo, como a diagonal divide os ângulos em 2 de 45° então [tex3]\beta=45°[/tex3]

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[tex3]\beta=45°[/tex3]

o que implica que o triângulo é retângulo isósceles.

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[albeistein]

XX.jpg (17.64 KiB) Exibido 3847 vezes

Me explica a questão dos ângulos, como você chegou nas duas congruências?

[NigrumCibum]

albeistein,

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ABCD é um quadrado. Seja [tex3]\angle AFE=\alpha [/tex3]

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[tex3]\angle AFE=\alpha [/tex3]

, [tex3]\angle AEF=90°-\alpha [/tex3]

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[tex3]\angle AEF=90°-\alpha [/tex3]

, como [tex3]ED\perp DC[/tex3]

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[tex3]ED\perp DC[/tex3]

então [tex3]\angle ECD=180°-90°-(90°-\alpha)=\alpha.[/tex3]

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[tex3]\angle ECD=180°-90°-(90°-\alpha)=\alpha.[/tex3]

Analogamente, pode-se mostrar que [tex3]\angle FCB=\angle CED=90°-\alpha. [/tex3]

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[tex3]\angle FCB=\angle CED=90°-\alpha. [/tex3]

Ou observe que DC||AF, e por paralelismo ocorrem as congruências entre os ângulos.

[albeistein]

Ou observe que DC||AF, e por paralelismo ocorrem as congruências entre os ângulos.

Obrigado, colega.
Vendo essa explicação, senti que precisaria revisar o conteúdo "Retas paralelas cortadas por um transversal" e fiz isso.
Trazendo o conteúdo para a questão, os segmentos de reta DC e AF são segmentos paralelos cortados pela transversal EF, de forma que o ângulo DCE e BFC são correspondentes e, portanto, congruentes. Aí já dá aplicar o caso de semelhança AA ou usar que a soma dos ângulos de um triângulo resulta 180º.

[albeistein]

Eu vi esse macete acho que no Ferreto, mas não lembro bem se é isso mesmo, analisa, por gentileza?
"Se um segmento divide um triângulo determinando um triângulo menor e um maior (original) e é paralelo a um dos lados e intercepta os outros dois lados, os triângulo maior e menor são semelhantes."

[NigrumCibum]

albeistein, é isso aí mesmo. A demonstração usa a consequência das retas serem paralelas.

[albeistein]

Show, colega. Obrigado!!!