Ensino Fundamental

Mensagem não lidapor **geobson** » 14 Dez 2020, 20:26 · Mensagem não lida por **geobson** » 14 Dez 2020, 20:26

Calcule a área da região sombreada.se: r=[tex3]\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}[/tex3]

Resposta

4

Mensagem não lidapor **NigrumCibum** » 15 Dez 2020, 10:39

: 1608038749703.jpg (40.87 KiB) Exibido 915 vezes

Seja r o raio do círculo menor e R o raio do círculo maior.
Note que [tex3]PT=RT=2r[/tex3] , [tex3]RS=PS=r \sqrt 2[/tex3] , [tex3]O_1O_2=r+R[/tex3] , [tex3]O_2Q=R.[/tex3]
Aplicando o teorema de pitágoras ao [tex3]\triangle O_1O_2Q[/tex3] , temos [tex3]O_1Q=\sqrt{r^2+2rR}[/tex3] , logo [tex3]RQ=\sqrt{r^2+2rR}+r[/tex3] , mas por tangência, tem-se que RP=RQ, então [tex3]2\sqrt{2}r=\sqrt{r^2+2rR}+r⇒9r^2-4\sqrt 2r^2=r^2+2rR⇒R=r(4-2\sqrt2).[/tex3]
Deste modo [tex3]O_1Q=r(2\sqrt 2-1)[/tex3] e [tex3]QT=2r(\sqrt 2-1).[/tex3] Por potência do ponto [tex3]QT^2=TF×PT⇒TF=2r(3-2\sqrt{2})[/tex3] , portanto: [tex3]PF=4r(\sqrt 2-1)[/tex3] , deste modo: [tex3]S_{shaded}=\frac{PF×TQ}{2}=4r^2(3-2\sqrt2)=4[/tex3]

Mensagem não lidapor **geobson** » 15 Dez 2020, 10:49 · Mensagem não lida por **geobson** » 15 Dez 2020, 10:49

NigrumCibum, obrigado.

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