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reta 2x-3y+7=0
Ensino Médio ⇒ (Rufino) Números complexos Tópico resolvido
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Out 2020
20
22:23
(Rufino) Números complexos
Seja F: C em C tal que, para todo z = x+yi (x,y reais), F(z)=iz+2+3i. Determine o conjunto dos complexos z cujas imagens por F estão na reta de equação 3x + 2y = 5
reta 2x-3y+7=0
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csmarcelo
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Out 2020
21
09:17
Re: (Rufino) Números complexos
[tex3]\underbrace{F(z)=iz+2+3i}_\text{conforme enunciado}[/tex3]
Abrindo [tex3]z[/tex3] para determinarmos o complexo [tex3]F(z)[/tex3] também em sua forma algébrica:
[tex3]F(z)=i(x+yi)+2+3i[/tex3]
[tex3]F(z)=ix+yi^2+2+3i[/tex3]
[tex3]F(z)=(2-y)+(x+3)i[/tex3]
Sendo [tex3]C(x,y)[/tex3] uma função que estabelece a relação entre as coordenadas de [tex3]z[/tex3] e [tex3]F(z)[/tex3] no plano de Argand-Gauss:
[tex3]C\underbrace{(x,y)}_{\text{coordenadas de }z}=\underbrace{(2-y,x+3)}_{\text{coordenadas de }F(z)}[/tex3]
Do enunciado, queremos apenas as coordenadas onde [tex3]3x + 2y = 5[/tex3] , ou seja, [tex3]y=\frac{5-3x}{2}[/tex3] .
Se [tex3]y[/tex3] é função de [tex3]x[/tex3] , então podemos reescrever [tex3]C[/tex3] também em função apenas de [tex3]x[/tex3] .
[tex3]C(x)=\(2-\frac{5-3x}{2},x+3\)=\(\frac{3x-1}{2},x+3\)[/tex3]
Assim, se [tex3]g[/tex3] é a função que determina a parte imaginária do complexo [tex3]F(z)[/tex3] em função de sua parte real:
[tex3]g\(\frac{3x-1}{2}\)=x+3[/tex3]
Reescrevendo [tex3]g[/tex3] em função de [tex3]x[/tex3] :
[tex3]g\(\frac{2\({\color{red}\frac{3x-1}{2}}\)+1}{3}\)=\frac{2({\color{red}x+3})+1}{3}[/tex3]
[tex3]g(x)=\frac{2x+7}{3}[/tex3]
Nessa forma, [tex3]g[/tex3] é a função que determina a parte imaginária do complexo [tex3]z[/tex3] em função de sua parte real. Logo,
[tex3]y=\frac{2x+7}{3}\therefore2x-3y+7=0[/tex3]
Abrindo [tex3]z[/tex3] para determinarmos o complexo [tex3]F(z)[/tex3] também em sua forma algébrica:
[tex3]F(z)=i(x+yi)+2+3i[/tex3]
[tex3]F(z)=ix+yi^2+2+3i[/tex3]
[tex3]F(z)=(2-y)+(x+3)i[/tex3]
Sendo [tex3]C(x,y)[/tex3] uma função que estabelece a relação entre as coordenadas de [tex3]z[/tex3] e [tex3]F(z)[/tex3] no plano de Argand-Gauss:
[tex3]C\underbrace{(x,y)}_{\text{coordenadas de }z}=\underbrace{(2-y,x+3)}_{\text{coordenadas de }F(z)}[/tex3]
Do enunciado, queremos apenas as coordenadas onde [tex3]3x + 2y = 5[/tex3] , ou seja, [tex3]y=\frac{5-3x}{2}[/tex3] .
Se [tex3]y[/tex3] é função de [tex3]x[/tex3] , então podemos reescrever [tex3]C[/tex3] também em função apenas de [tex3]x[/tex3] .
[tex3]C(x)=\(2-\frac{5-3x}{2},x+3\)=\(\frac{3x-1}{2},x+3\)[/tex3]
Assim, se [tex3]g[/tex3] é a função que determina a parte imaginária do complexo [tex3]F(z)[/tex3] em função de sua parte real:
[tex3]g\(\frac{3x-1}{2}\)=x+3[/tex3]
Reescrevendo [tex3]g[/tex3] em função de [tex3]x[/tex3] :
[tex3]g\(\frac{2\({\color{red}\frac{3x-1}{2}}\)+1}{3}\)=\frac{2({\color{red}x+3})+1}{3}[/tex3]
[tex3]g(x)=\frac{2x+7}{3}[/tex3]
Nessa forma, [tex3]g[/tex3] é a função que determina a parte imaginária do complexo [tex3]z[/tex3] em função de sua parte real. Logo,
[tex3]y=\frac{2x+7}{3}\therefore2x-3y+7=0[/tex3]
Editado pela última vez por csmarcelo em 21 Out 2020, 09:25, em um total de 2 vezes.
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