Questão movida conforme a regra 6 da maratona:
(Estados Unidos 1973) Sejam p,q e r primos distintos, prove que [tex3]\sqrt[3]{p}, \sqrt[3]{q}[/tex3]
e [tex3]\sqrt[3]{r}[/tex3]
não podem ser termos de uma progressão aritmética.
Olimpíadas ⇒ Questão retirada da I Maratona Olímpica de Teoria dos Números Tópico resolvido
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00:31
Questão retirada da I Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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27
01:09
Re: Questão retirada da I Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Como p,q e r são primos distintos, podemos supor sem perda de generalidade: [tex3]\sqrt[3]{p}<\sqrt[3]{q}<\sqrt[3]{r}[/tex3]
Então, supondo que esses termos estão em progressão aritmética e sendo "x" a razão, temos que:
[tex3]\begin{cases}
\sqrt[3]{r}=\sqrt[3]{p}+ax \space \space \space \space (I)\\
\sqrt[3]{q}=\sqrt[3]{p}+bx \space \space \space \space (II)
\end{cases}[/tex3]
Onde [tex3]a>b [/tex3] e "a" e "b" são números inteiros.
Fazendo: [tex3]b\cdot (I) - a\cdot (II) [/tex3] temos que:
[tex3]b\sqrt[3]{r}-a\sqrt[3]{q}=b\sqrt[3]{p}-a\sqrt[3]{p}[/tex3]
[tex3]b^3r-a^3q -3ab\sqrt[3]{qr}\cdot ( b\sqrt[3]{r}-a\sqrt[3]{q}) = p\cdot (b-a)^3[/tex3]
[tex3]b^3r-a^3q -3ab\sqrt[3]{qr}\cdot ( b\sqrt[3]{p}-a\sqrt[3]{p}) = p\cdot (b-a)^3[/tex3]
[tex3]b^3r-a^3q -3ab\sqrt[3]{qrp}\cdot ( b-a) = p\cdot (b-a)^3[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{qrp} = \frac{p\cdot (b-a)^3-b^3r+a^3q}{-3ab\cdot (b-a)}[/tex3]
O lado esquerdo é irracional, enquanto o direito é racional. Absurdo.
. Então, supondo que esses termos estão em progressão aritmética e sendo "x" a razão, temos que:
[tex3]\begin{cases}
\sqrt[3]{r}=\sqrt[3]{p}+ax \space \space \space \space (I)\\
\sqrt[3]{q}=\sqrt[3]{p}+bx \space \space \space \space (II)
\end{cases}[/tex3]
Onde [tex3]a>b [/tex3] e "a" e "b" são números inteiros.
Fazendo: [tex3]b\cdot (I) - a\cdot (II) [/tex3] temos que:
[tex3]b\sqrt[3]{r}-a\sqrt[3]{q}=b\sqrt[3]{p}-a\sqrt[3]{p}[/tex3]
[tex3]b^3r-a^3q -3ab\sqrt[3]{qr}\cdot ( b\sqrt[3]{r}-a\sqrt[3]{q}) = p\cdot (b-a)^3[/tex3]
[tex3]b^3r-a^3q -3ab\sqrt[3]{qr}\cdot ( b\sqrt[3]{p}-a\sqrt[3]{p}) = p\cdot (b-a)^3[/tex3]
[tex3]b^3r-a^3q -3ab\sqrt[3]{qrp}\cdot ( b-a) = p\cdot (b-a)^3[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{qrp} = \frac{p\cdot (b-a)^3-b^3r+a^3q}{-3ab\cdot (b-a)}[/tex3]
O lado esquerdo é irracional, enquanto o direito é racional. Absurdo.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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