Espero que minha figura esteja suficientemente clara.
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Bom, pense na roda girando pela rampa e veja que a parte vermelha da rota passa pela parte vermelha da rampa. Então, o comprimento da rampa será a parte vermelha da roda, mas essa parte preta do canto.
Vamos primeiro calcular o comprimento da parte vermelha.
Observe que as retas [tex3]RQ[/tex3]
e [tex3]QP[/tex3]
são tangentes à circunferência, então o raio da circunferência forma um ângulo de [tex3]90°[/tex3]
com essa reta. Além disso, temos que [tex3]R\hat QP=120°.[/tex3]
Então, como [tex3]AQBO[/tex3]
é um quadrilátero temos que a soma de seus ângulos internos é [tex3]360°[/tex3]
. Logo:
[tex3]120+90+90+A\hat OB=360\\\implies A\hat OB=60°[/tex3]
Daqui temos que a parte vermelha é um setor de [tex3]300°[/tex3]
, então:
[tex3]Vermelha=\frac{300}{360}\cdot2\pi\cdot3=5\pi[/tex3]
.
Agora vamos para a parte preta.
Note que como [tex3]OA=OB[/tex3]
(é o raio) e [tex3]OQ[/tex3]
é um lado comum aos triângulos retângulos [tex3]AQO[/tex3]
e [tex3]BQO[/tex3]
teremos que [tex3]AQ=BQ=x[/tex3]
e que [tex3]A\hat QO=B\hat QO=\frac{120}2=60°[/tex3]
. Podemos então usar a fórmula da tangente e teremos:
[tex3]\frac3x=\tg 60°=\sqrt3\\\implies x=\sqrt3[/tex3]
[tex3]Preta=2x=2\sqrt3[/tex3]
[tex3]Rampa=Vermelha+Preta=5\pi+2\sqrt3[/tex3]
Espero que esteja claro, (faz tempo que não apareço por aqui, então estou meio destreinada a escrever as soluções, kk).
Saudações.
