Ensino Superior ⇒ (Cálculo 3) Integral de Linha Tópico resolvido

[euflasio]

Bom dia amigos!!!
Gostaria de pedir vossa ajuda nessa questão por favor
Obrigado desde já
Atenciosamente.


Calcule a integral de linha [tex3]\int\limits_{C}(x^3 y)ds[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{C}(x^3 y)ds[/tex3]

, onde [tex3]c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c[/tex3]

é o arco da circunferência: [tex3]x^2+y^2=4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2+y^2=4[/tex3]

no primeiro quadrante.

Utilize a calculadora no modo radianos e apresente a resolução passo a passo, até a resposta final.

[Cardoso1979]

Olá! Cadê o gabarito ?? A Fonte ?? Ou as alternativas??? Aparentemente você extraiu esta questão de um livro!!!!

[Cardoso1979]

Observe

Esse não respondeu nada!!! Vai uma solução aqui.


Solução:

As equações paramétricas para C são : x = 2cos(t) , y = 2cos(t) , 0 ≤ t ≤ [tex3]\frac{π}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{π}{2}[/tex3]

( pois C é o arco da circunferência x² + y² = 4 no primeiro quadrante ). Assim,

[tex3]\int\limits_{C}^{}x^3y \ ds = \int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}[2cos(t)]^3.2sen(t).\sqrt{[-2sen(t)]^2+[2cos(t)]^2}dt[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{C}^{}x^3y \ ds = \int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}[2cos(t)]^3.2sen(t).\sqrt{[-2sen(t)]^2+[2cos(t)]^2}dt[/tex3]

[tex3]= 16\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}cos^3(t).sen (t)\sqrt{4.[cos^2(t)+sen^2(t)]}dt[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]= 16\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}cos^3(t).sen (t)\sqrt{4.[cos^2(t)+sen^2(t)]}dt[/tex3]

[tex3]= 16\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}cos^3(t).sen (t).2 \ dt[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]= 16\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}cos^3(t).sen (t).2 \ dt[/tex3]

[tex3]= 32.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}cos^3(t).sen (t) \ dt[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]= 32.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}cos^3(t).sen (t) \ dt[/tex3]

Obs.1 Para resolver a integral acima , basta utilizar a substituição u = cos (t) → du = - sen(t) dt.

Resulta que,

[tex3]-\frac{32}{4}.\left[cos^4(t)\right]^{\frac{π}{2}}_{0}= - 8.(0-1)=8[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-\frac{32}{4}.\left[cos^4(t)\right]^{\frac{π}{2}}_{0}= - 8.(0-1)=8[/tex3]

Portanto, o valor da integral de linha dada vale 8.

Obs. 2

Para x = 2cos(t), temos

[tex3]\frac{dx}{dt} = -2sen(t)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{dx}{dt} = -2sen(t)[/tex3]

.

Para y = 2sen(t), temos

[tex3]\frac{dy}{dt} = 2cos(t)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{dy}{dt} = 2cos(t)[/tex3]

.


Obs.3

[tex3]\int\limits_{C}^{}f(x,y) \ ds = \int\limits_{a}^{b}f(x(t),y(t)).\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{C}^{}f(x,y) \ ds = \int\limits_{a}^{b}f(x(t),y(t)).\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt[/tex3]

Obs. 4

[tex3]\frac{ds}{dt} = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{ds}{dt} = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}[/tex3]

Nota

Continuo a bater forte na campanha poste o gabarito, fonte ou alternativas!




Excelente estudo!



Excelente estudo!

[Cardoso1979]

As equações paramétricas para C são : x = 2cos(t) , y = 2cos(t) , 0 ≤ t ≤ [tex3]\frac{π}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{π}{2}[/tex3]

Correção:

O correto é y = 2sen(t).