Olimpíadas

A semicircunferência de centro [tex3]O[/tex3] e diâmetro [tex3]\overline{AC}[/tex3] é dividida em dois arcos [tex3]\stackrel{\textstyle\frown}{\mathrm{AB}}[/tex3] e [tex3]\stackrel{\textstyle\frown}{\mathrm{BC}}[/tex3] na relação [tex3]1:3[/tex3] . [tex3]M[/tex3] é o ponto médio do raio [tex3]\overline{OC}[/tex3] . Seja [tex3]T[/tex3] o ponto do arco [tex3]\stackrel{\textstyle\frown}{\mathrm{BC}}[/tex3] tais que a área do quadrilátero [tex3]OBTM[/tex3] é máxima. Calcular a área em função do raio.

Resposta

Sem gabarito

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repare que [tex3][OBTM] = [OBM] + [BTM][/tex3] , como a área de [tex3]\triangle OBM[/tex3] é fixa para maximizar a área do quadrilátero, basta maximizar a área de [tex3]\triangle BTM[/tex3] , como a base [tex3]BM[/tex3] é fixa basta maximizar a sua altura.
Maximizar essa altura é intuitivo, seja [tex3]D = BM \cap \odot (O,OC)[/tex3] então [tex3]T[/tex3] é ponto médio do arco [tex3]BD[/tex3] , fácil de ver que [tex3]OT \perp BM[/tex3] (pois é mediatriz de [tex3]BD[/tex3] ).

Veja então que sendo [tex3]H = OT \cap BM[/tex3] :

[tex3][OBTM] = [OBM] + [BTM] = \frac{BM}{2}(OH + HT) = \frac{R \cdot BM}{2}[/tex3]

e da lei dos cossenos:

[tex3]BM^2 = R^2 + R^2\frac14 - R^2 \cos(135^{\circ}) = R^2 \frac14(2\sqrt2+5) \iff BM = \frac R2 \sqrt{5+2\sqrt2}[/tex3]

então

[tex3][OBTM] = \frac{R^2}4 \sqrt{5+2\sqrt2} [/tex3]

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(Cone Sul 1995) Geometria Plana - Semicircunferência

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