Ensino Médio ⇒ Raiz quadrada infinita Tópico resolvido

[Deleted User 24758]

O valor de [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

. Se [tex3]\sqrt{x+\sqrt{4x+\sqrt{16x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}}}}-\sqrt{x}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{x+\sqrt{4x+\sqrt{16x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}}}}-\sqrt{x}=1[/tex3]

Resposta

---

[tex3]x=2^{-4040}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=2^{-4040}[/tex3]

---

O valor de x. Se \sqrt{x+\sqrt{4x+\sqrt{16x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}}}}-\sqrt{x}=1.

---

[Deleted User 25040]

[tex3]\sqrt{x+\sqrt{4x+\sqrt{16x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}}}}-\sqrt{x}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{x+\sqrt{4x+\sqrt{16x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}}}}-\sqrt{x}=1[/tex3]

[tex3]\sqrt{x+\sqrt{4x+\sqrt{16x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}}}} = 1 +\sqrt{x}\\
x + \sqrt{4x+\sqrt{16x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}}} = 1 + 2\sqrt{x}+x\\
\sqrt{4x+\sqrt{16x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}}}=1+2\sqrt{x}\\
4x + \sqrt{16x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}} = 1 + 4\sqrt{x}+4x\\
\sqrt{16x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}} = 1 + 4\sqrt{x}\\
16x + \sqrt{64x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}+3}}}=1 + 8\sqrt{x}+16x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{x+\sqrt{4x+\sqrt{16x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}}}} = 1 +\sqrt{x}\\
x + \sqrt{4x+\sqrt{16x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}}} = 1 + 2\sqrt{x}+x\\
\sqrt{4x+\sqrt{16x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}}}=1+2\sqrt{x}\\
4x + \sqrt{16x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}} = 1 + 4\sqrt{x}+4x\\
\sqrt{16x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}} = 1 + 4\sqrt{x}\\
16x + \sqrt{64x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}+3}}}=1 + 8\sqrt{x}+16x[/tex3]

o numero que multiplica a raiz de x no lado direito ( da primeira vez que enviei estava escrito esquerdo kkkkk, o certo é direito) é sempre a raiz quadrada do primeiro número que aparece dentro da raiz
uma hora vamos chegar em
[tex3]\sqrt{4^{2019}x+\sqrt{4^{2020}x+3}}=1+\sqrt{4^{2019}}\sqrt{x}\\
4^{2019}x+\sqrt{4^{2020}x+3} = 1 + 2\sqrt{4^{2019}}\sqrt{x}+4^{2019}x\\
\sqrt{4^{2020}x+3} = 1 + 2\sqrt{4^{2019}}\sqrt{x}\\
4^{2020}x+3 = 1 + 4\sqrt{4^{2019}}\sqrt{x} + 4^{2020}x\\
2 = 4\cdot 2 ^{2019}\sqrt{x}\\
2^{-2020}=\sqrt{x}\\
x = 2^{-4040}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{4^{2019}x+\sqrt{4^{2020}x+3}}=1+\sqrt{4^{2019}}\sqrt{x}\\
4^{2019}x+\sqrt{4^{2020}x+3} = 1 + 2\sqrt{4^{2019}}\sqrt{x}+4^{2019}x\\
\sqrt{4^{2020}x+3} = 1 + 2\sqrt{4^{2019}}\sqrt{x}\\
4^{2020}x+3 = 1 + 4\sqrt{4^{2019}}\sqrt{x} + 4^{2020}x\\
2 = 4\cdot 2 ^{2019}\sqrt{x}\\
2^{-2020}=\sqrt{x}\\
x = 2^{-4040}
[/tex3]

[Deleted User 24633]

Temos que [tex3]\sqrt{x+\sqrt{4x+\sqrt{16x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}}}}=\sqrt{x}+1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{x+\sqrt{4x+\sqrt{16x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}}}}=\sqrt{x}+1[/tex3]

elevando ao quadrado vem [tex3]\cancel x+\sqrt{4x+\sqrt{16x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}}}=\cancel x+2\sqrt{x}+1[/tex3]

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[tex3]\cancel x+\sqrt{4x+\sqrt{16x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}}}=\cancel x+2\sqrt{x}+1[/tex3]

elevando ao quadrado [tex3]\cancel{4x}+\sqrt{16x+\sqrt{64x+\sqrt{128x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}}}}=\cancel{4x}+4\sqrt{x}+1[/tex3]

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[tex3]\cancel{4x}+\sqrt{16x+\sqrt{64x+\sqrt{128x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}}}}=\cancel{4x}+4\sqrt{x}+1[/tex3]

É fácil provar por Indução finita que [tex3]\sqrt{4^nx+\sqrt{4^{n+1}x+\sqrt{4^{n+2}x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}}}}=2^{n}\sqrt{x}+1.[/tex3]

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[tex3]\sqrt{4^nx+\sqrt{4^{n+1}x+\sqrt{4^{n+2}x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}}}}=2^{n}\sqrt{x}+1.[/tex3]

Resposta

---

Nossa base de Indução é a expressão do enunciado.
Admita, por hipótese de Indução, que [tex3]\sqrt{4^kx+\sqrt{4^{k+1}x+\sqrt{4^{k+2}x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}}}}=2^{k}\sqrt{x}+1[/tex3]

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[tex3]\sqrt{4^kx+\sqrt{4^{k+1}x+\sqrt{4^{k+2}x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}}}}=2^{k}\sqrt{x}+1[/tex3]

para algum [tex3]k[/tex3]

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[tex3]k[/tex3]

entre [tex3]0[/tex3]

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[tex3]0[/tex3]

e [tex3]2019.[/tex3]

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[tex3]2019.[/tex3]

Queremos provar que [tex3]\sqrt{4^{k+1}x+\sqrt{4^{k+2}x+\sqrt{4^{k+3}x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}}}}=2^{k+1}\sqrt{x}+1.[/tex3]

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[tex3]\sqrt{4^{k+1}x+\sqrt{4^{k+2}x+\sqrt{4^{k+3}x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}}}}=2^{k+1}\sqrt{x}+1.[/tex3]

Para isso basta elevar nossa Hipótese de Indução ao quadrado obtendo
[tex3]\cancel{4^kx}+\sqrt{4^{k+1}x+\sqrt{4^{k+2}x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}}}=\cancel{2^{2k}x}+2\cdot 2^{k}\sqrt{x}+1[/tex3]

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[tex3]\cancel{4^kx}+\sqrt{4^{k+1}x+\sqrt{4^{k+2}x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}}}=\cancel{2^{2k}x}+2\cdot 2^{k}\sqrt{x}+1[/tex3]

ou seja
[tex3]\sqrt{4^{k+1}x+\sqrt{4^{k+2}x+\sqrt{4^{k+3}x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}}}}=2^{k+1}\sqrt{x}+1[/tex3]

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[tex3]\sqrt{4^{k+1}x+\sqrt{4^{k+2}x+\sqrt{4^{k+3}x+\sqrt{...+\sqrt{4^{2020}x+3}}}}}=2^{k+1}\sqrt{x}+1[/tex3]

como queríamos demonstrar.

Para [tex3]n=2019[/tex3]

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[tex3]n=2019[/tex3]

temos [tex3]\sqrt{4^{2019}x+\sqrt{4^{2020}x+3}}=2^{2019}\sqrt{x}+1[/tex3]

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[tex3]\sqrt{4^{2019}x+\sqrt{4^{2020}x+3}}=2^{2019}\sqrt{x}+1[/tex3]

elevando ao quadrado obtemos [tex3]\cancel{4^{2019}x}+\sqrt{4^{2020}\sqrt{x}+3}=\cancel{4^{2019}x}+2^{2020}\sqrt{x}+1[/tex3]

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[tex3]\cancel{4^{2019}x}+\sqrt{4^{2020}\sqrt{x}+3}=\cancel{4^{2019}x}+2^{2020}\sqrt{x}+1[/tex3]

elevando ao quadrado de novo
[tex3]\cancel{4^{2020}{x}}+3=\cancel{4^{2020}{x}}+2^{2021}\sqrt{x}+1[/tex3]

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[tex3]\cancel{4^{2020}{x}}+3=\cancel{4^{2020}{x}}+2^{2021}\sqrt{x}+1[/tex3]

então [tex3]\sqrt{x}=\dfrac{2}{2^{2021}}=2^{-2020}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{x}=\dfrac{2}{2^{2021}}=2^{-2020}[/tex3]

e logo [tex3]\boxed{x=2^{-4040}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{x=2^{-4040}}[/tex3]

[TakeMeDown]

Olá, KashinKoje,

Vixe! Várias soluções!

Segue mais uma, para não jogar fora

[tex3]\sqrt{x+y}=1+\sqrt{x}\rightarrow y=1+2\sqrt{x}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{x+y}=1+\sqrt{x}\rightarrow y=1+2\sqrt{x}[/tex3]

[tex3]y=\sqrt{4x+z}\rightarrow z=1+4\sqrt{x}[/tex3]

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[tex3]y=\sqrt{4x+z}\rightarrow z=1+4\sqrt{x}[/tex3]

[tex3]z=\sqrt{16x+w}\rightarrow w=1+8\sqrt{x}[/tex3]

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[tex3]z=\sqrt{16x+w}\rightarrow w=1+8\sqrt{x}[/tex3]

...

Verificamos o padrão, de modo que

[tex3]\alpha=\sqrt{4^kx+\beta}\rightarrow \alpha=1+2^k\sqrt{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha=\sqrt{4^kx+\beta}\rightarrow \alpha=1+2^k\sqrt{x}[/tex3]

.

Para [tex3]\beta=3[/tex3]

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[tex3]\beta=3[/tex3]

e [tex3]k=2020[/tex3]

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[tex3]k=2020[/tex3]

, temos

[tex3]\sqrt{4^{2020}x+3}=1+2^{2020}\sqrt{x}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{4^{2020}x+3}=1+2^{2020}\sqrt{x}[/tex3]

[tex3]4^{2020}x+3=1+2.2^{2020}\sqrt{x}+4^{2020}x[/tex3]

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[tex3]4^{2020}x+3=1+2.2^{2020}\sqrt{x}+4^{2020}x[/tex3]

[tex3]2^{2020}\sqrt{x}=1\rightarrow \sqrt{x}=2^{-2020}\rightarrow \boxed{x=2^{-4040}}[/tex3]

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[tex3]2^{2020}\sqrt{x}=1\rightarrow \sqrt{x}=2^{-2020}\rightarrow \boxed{x=2^{-4040}}[/tex3]

.

Abs

[Hanon]

Na mesma linha de ideia (caso geral): viewtopic.php?f=20&t=68898

[Deleted User 24758]

Valeu, galera. Consegui entender perfeitamente. Como as três respostas estão super trabalhas, acho justo não validar nenhuma. Tmj!

[petras]

KashinKoje,
Você deve validar a resposta que melhor conseguiu esclarecer sua dúvida. A questão de validar é para que outros participantes ao procurarem uma questão tenham uma referência que a mesma foi solucionada.