Ensino Médio ⇒ Por que três pontos não colineares determinam um plano? Tópico resolvido

[Mathsdec]

Não consigo visualizar mentalmente o postulado da determinação da geometria plana: Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles

Como assim o "plano passa por eles"? O plano só passa mesmo ou contém todos esses três pontos (e mais a infinidade de outros pontos que a minha mente humana é incapaz de imaginar)? E por que um plano não poderia passar por 4 pontos não colineares, por exemplo? Um quadrado não é uma figura plana que tem quatro pontos em comum (vértices)? Pesquisei sobre isso, mas as respostas que encontrei eram, além de escassas, bem vagas. Tem como me iluminar nisso aqui? Please...

[Deleted User 23699]

Eaí Mathsdec

Perceba que o postulado diz que: três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles.
O que isso significa?
Significa que para determinar um plano, precisamos de apenas 3 pontos não colineares.
Imagine a seguinte situação:

Temos um triângulo.
Você concorda que o único plano que passa pelos três vértices do triângulo é o próprio plano do triângulo?
Isso significa determinar um plano.

Isso é uma regra, sempre irá acontecer, não importa a posição dos pontos.
Agora, sobre sua pergunta: por que não quatro?
A explicação é simples mas exige um pouquinho mais de visão espacial.
Imagine nosso exemplo anterior novamente. Um triângulo.
Agora, observe que um quarto ponto não necessariamente passa pelo mesmo plano que esse triângulo.

Observe o exemplo na imagem abaixo

Figura-2-Representacao-das-retas-suportes-das-diagonais-de-um-quadrilatero-reverso.png (71.62 KiB) Exibido 3706 vezes

Isso não impede que quatro pontos estejam contidos em um plano. Mas impede a frase "quatro pontos sempre determinam um plano". Nem sempre isso é verdade, como vimos nesse exemplo. Aliás, esse "quadrilátero estranho" até recebe um nome diferente: quadrilátero reverso (pois nem todos seus vértices estão no mesmo plano).

Resumindo a ideia:
• Três pontos não colineares SEMPRE determinam um ÚNICO plano que PASSA POR TODOS ESSES TRÊS PONTOS. Pela definição de plano ser um "lugar geométrico infinito", ou seja, um "lençol" infinito, obviamente outros pontos estarão juntos a esses três pontos.
• Quatro pontos não colineares NEM SEMPRE determinam um plano que PASSA POR TODOS ESSES QUATRO PONTOS. O exemplo mais simples disso é o quadrilátero reverso.
• A definição de plano é LUGAR GEOMÉTRICO INFINITO QUE ABRANGE INFINITOS PONTOS. Podemos pensar na seguinte associação, apenas para elucidar melhor: ponto é a figura elementar da geometria. Retas são associações infinitas de pontos em sequência (1D). Planos são associações infinitas de retas em sequência (2D). Ainda temos o espaço geométrico, que seria definido em 3D.