IME / ITA(ITA-96) Pirâmide Regular Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
triplebig
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 1225
Registrado em: Ter 18 Set, 2007 23:11
Última visita: 02-09-20
Localização: São José dos Campos
Nov 2008 20 13:00

(ITA-96) Pirâmide Regular

Mensagem não lida por triplebig »

Numa pirâmide triangular de regular, a área da base é igual ao quadrado da altura [tex]H[/tex] . Seja [tex]R[/tex] o raio da esfera inscrita nesta pirâmide. Deste modo, a razão [tex]\frac{H}{R}[/tex] é igual a:

[tex]a)\sqrt{\sqrt{3}+1}\\b)\sqrt{\sqrt{3}-1}\\c)1+\sqrt{3\sqrt{3}+1}\\d)1+\sqrt{3\sqrt{3}-1}\\e)\sqrt{3}+1[/tex]



Última edição: triplebig (Qui 20 Nov, 2008 13:00). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
caju
5 - Mestre
Mensagens: 1997
Registrado em: Qui 19 Out, 2006 15:03
Última visita: 26-09-20
Localização: Rio de Janeiro
Contato:
Nov 2008 20 15:18

Re: (ITA-96) Pirâmide Regular

Mensagem não lida por caju »

Olá triplebig,

Esta questão morre rapidinho sabendo uma relação bem fácil de se provar (mostro a relação e deixo a prova para você):

V=\frac{\(A_{\text{b}}+A_{\text{lateral}}\)\cdot R}{3}

Onde:
A_{\text{b}}=\text{Area da base}
A_{\text{lateral}}=\text{Area lateral}
R=\text{Raio do circulo inscrito}

É dito no enunciado que A_{\text{b}}=\text{Area da base}=H^2=\frac{\ell^2\sqrt 3}{4}
piramide.GIF
piramide.GIF (3.75 KiB) Exibido 3462 vezes
D é o baricentro de ABC (triângulo equilátero pois a pirâmide é regular), portanto, DF vale 1/3 da altura de ABC. Podemos, então, aplicar pitágoras para descobrir a altura a da face lateral:

\(\frac 13\cdot \frac{\ell\sqrt 3}{2}\)^2+H^2=a^2

\(\frac 13\cdot \frac{\ell\sqrt 3}{2}\)^2+\frac{\ell^2\sqrt 3}{4}=a^2

a=\frac{\ell}{2}\sqrt{\frac{1+3\sqrt 3}{3}}

Agora podemos calcular a área lateral:

A_{\text{lateral}}=3\cdot\frac{\ell\cdot \frac{\ell}{2}\sqrt{\frac{1+3\sqrt 3}{3}}}{2}=\frac{\ell^2\sqrt{1+3\sqrt 3}\sqrt{3}}{4}

E, portanto, o volume calculado pela fórmula dada no início igualado a fórmula usual de volume:

V=\frac{\(A_{\text{b}}+A_{\text{lateral}}\)\cdot R}{3}=\frac{A_{\text{b}}\time H}{3}

\frac{\(\frac{\ell^2\sqrt 3}{4}+\frac{\ell^2\sqrt{1+3\sqrt 3}\sqrt{3}}{4}\)\cdot R}{3}=\frac{\frac{\ell^2\sqrt 3}{4}\time H}{3}

Manipulando esta equação, chegamos em:

\frac HR=1+\sqrt{1+3\sqrt 3}

Alternativa letra C.

Última edição: caju (Qui 20 Nov, 2008 15:18). Total de 1 vez.


"A beleza de ser um eterno aprendiz..."

Avatar do usuário
Autor do Tópico
triplebig
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 1225
Registrado em: Ter 18 Set, 2007 23:11
Última visita: 02-09-20
Localização: São José dos Campos
Nov 2008 20 16:26

Re: (ITA-96) Pirâmide Regular

Mensagem não lida por triplebig »

Que fórmula manjada esta, nunca a vi antes. Vou tentar prová-la agora, obrigado pela resolução.



Última edição: triplebig (Qui 20 Nov, 2008 16:26). Total de 1 vez.



Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem Volume - Pirâmide - Triangular Regular - Apótema
    por ismaelmat » » em Ensino Médio
    1 Respostas
    1895 Exibições
    Última msg por jomatlove
  • Nova mensagem Piramide Triangular Regular
    por SaitamaCareca » » em Ensino Médio
    1 Respostas
    231 Exibições
    Última msg por Planck
  • Nova mensagem (AFA)Pirâmide Regular
    por ASPIRADEDEU » » em IME / ITA
    3 Respostas
    102 Exibições
    Última msg por petras
  • Nova mensagem Área Total de um Tetraedro Regular
    por ismaelmat » » em Ensino Médio
    1 Respostas
    1031 Exibições
    Última msg por joaopcarv
  • Nova mensagem Polígonos Regular
    por IMP » » em Ensino Médio
    5 Respostas
    334 Exibições
    Última msg por csmarcelo

Voltar para “IME / ITA”