IME / ITA ⇒ (ITA 1973) Geometria Espacial

[MORANGA]

Um octaedro regular é inscrito num cubo, que está inscrito numa esfera, e que está inscrita num tetraedro regular. Se o comprimento da aresta do tetraedro é 1, qual é o comprimento da aresta do octaedro?

Resposta

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Resposta : 1/6

[Tassandro]

MORANGA,
[tex3]\ell_8=\frac{\ell_3\sqrt2}{2}\\
2r=\ell_3\sqrt3\\
r=\frac{h}4\\
h=\frac{\sqrt6}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\ell_8=\frac{\ell_3\sqrt2}{2}\\
2r=\ell_3\sqrt3\\
r=\frac{h}4\\
h=\frac{\sqrt6}{3}[/tex3]

Agora é só substituir o h e ir fazendo as substituições.

[fkaio]

MORANGA vou complementar a resposta do Tassandro caso vc não entenda:
Vamos começar a responder esse exercício de trás pra frente.
I- temos uma circunferência inscrita em um tetraedro de lado 1.

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para a altura dele temos h=a√6/3, logo, h=1.√6/3 > h= √6/3
para descobrirmos o raio da circunferência temos a fórmula 4r=h,logo , 4r=√6/3 > r=√6/12
Essa fórmula do raio pode ser entendida nessa aula:https://www.youtube.com/watch?v=5DeRKsQwjqY
II- agora temos um cubo dentro de uma circunferência
Se vc analisar, a diagonal do cubo l√3 irá ser igual ao diâmetro da circunferência 2r:

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assim, l√3=2r > l√3=2.√6/12 > l=√2/6
III- por fim o octaedro inscrito no cubo, temos a fórmula:

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logo, x=l√2/2 > x=√2./6.√2/2 > x=1/6