Pré-Vestibular ⇒ Sequência de Fibonacci Tópico resolvido

[medamanda]

No começo do século 13, o italiano Leonardo Fibonacci descobriu propriedades únicas em uma sequência de números (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...): a razão entre qualquer par de números sucessivos é bem próxima à proporção áurea, cujo valor aproximado é de 1,618.

a) 58 é o décimo número dessa sequência.
b)144 é o décimo primeiro número dessa sequência.
c) n dessa sequência é dado por 1 x (1,618)n-1.
d) n dessa sequência é o inteiro mais próximo ao número de posição n-1 multiplicado por 1,618.
e) n dessa sequência é o inteiro mais próximo ao número de posição n-1 dividido por 1,618.

---

Cheguei até a relação: an= 1,618(elevado a "n-1") mas não consegui relacionar com as alternativas que falam sobre "n"

Resposta

---

D

[medamanda]

Alguém pode me ajudar nessa questão?

[mcarvalho]

Boa tarde.

Como você, também descobri que [tex3]a_n\approx (1,618)^{n-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_n\approx (1,618)^{n-1}[/tex3]

Para a análise dessa sequência, contudo, acho que não precisamos de tanto. Basta usar a informação do enunciado de que [tex3]\frac{a_n}{a_{n-1}}\approx 1,618\rightarrow \boxed{a_n\approx a_{n-1}\cdot 1,618}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a_n}{a_{n-1}}\approx 1,618\rightarrow \boxed{a_n\approx a_{n-1}\cdot 1,618}[/tex3]

Nas alternativas c), d) e e), suponho, até por uma questão de poder fazer sentido, que o 'n' que o texto se refere é o que nós dois estamos chamando de [tex3]a_n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_n[/tex3]

.

Assim seja:

c) n dessa sequência é dado por 1 x (1,618)n-1.

Em que pese a ambiguidade desse trecho (é 1,618 vezes (n-1)? É elevado?), está de todo modo errado, pela relação exposta no enunciado.

d) n dessa sequência é o inteiro mais próximo ao número de posição n-1 multiplicado por 1,618.

É exatamente a relação exposta pelo enunciado, e que eu transcrevi matematicamente acima: [tex3]a_n\approx a_{n-1}\cdot 1,618[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_n\approx a_{n-1}\cdot 1,618[/tex3]

e) n dessa sequência é o inteiro mais próximo ao número de posição n-1 dividido por 1,618.

A explicação do item d) já basta, creio, para descartar essa.

[Tassandro]

medamanda,
A não ser que você queira, mas podemos demonstar que a fórmula geral para o n-ésimo termo da Sequência de Fibonacci é
[tex3]F_n=\frac{1}{\sqrt5}\(\(\frac{1+\sqrt5}{2}\)^n-\(\frac{1-\sqrt5}{2}\)^n\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F_n=\frac{1}{\sqrt5}\(\(\frac{1+\sqrt5}{2}\)^n-\(\frac{1-\sqrt5}{2}\)^n\)[/tex3]

Para facilitar, farei
[tex3]\frac{1+\sqrt5}{2}=α;\frac{1-\sqrt5}{2}=β[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1+\sqrt5}{2}=α;\frac{1-\sqrt5}{2}=β[/tex3]

Assim,
[tex3]F_n=\frac{1}{\sqrt5}(α^n-β^n)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F_n=\frac{1}{\sqrt5}(α^n-β^n)[/tex3]

Fazendo a razão
[tex3]\frac{F_{n+1}}{F_{n}}=\frac{α^{n+1}-β^{n+1}}{α^n-β^n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{F_{n+1}}{F_{n}}=\frac{α^{n+1}-β^{n+1}}{α^n-β^n}[/tex3]

Agora acho que dá para você fazer as alternativas que falam sobre n.
A dica para demonstrar essa fórmula é usar equação característica.
Abraço.

[medamanda]

Muito obrigada os dois!!!