Pré-Vestibular ⇒ UNIFOR Medicina 2011/2 - Geometria Plana. Tópico resolvido

[oilut]

Cada uma das regiões sombreadas abaixo está compreendida entre semicircunferências cujos centros são colineares. As semicircunferências maiores têm raios de mesmo comprimento. Na região da figura I, as semicircunferências menores têm raio de mesmo comprimento e, na região da figura II, o raio de uma das semicircunferências internas é o dobro do raio da outra. Marque a opção correta:

(A) A área da região da figura I é a mesma que a da região da figura II.
(B) A área da região da figura I é menor que a da região da figura II.
(C) O perímetro da região da figura I é o mesmo que o da região da figura II.
(D) O perímetro da região da figura I é menor que o da região da figura II.
(E) Nenhuma das respostas anteriores está correta.

Resposta

---

(C) O perímetro da região da figura I é o mesmo que o da região da figura II.

[Tassandro]

oilut,
Seja R o raio da circunferência maior e r o raio da circunferência menor em I.
Como [tex3]2R=4r\implies R=2r[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2R=4r\implies R=2r[/tex3]

Assim, o período dessa figura vale [tex3]πR+2πr=2πR[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]πR+2πr=2πR[/tex3]

Agora, na figura II, seja [tex3]r_1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_1[/tex3]

o raio da circunferência maior e [tex3]r_2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_2[/tex3]

o da menor.
Temos que
[tex3]2r_1+2r_2=2R\implies r_1+r_2=R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2r_1+2r_2=2R\implies r_1+r_2=R[/tex3]

Logo, o perímetro de 2 vale
[tex3]πR+πr_1+πr_2=π(R+r_1+r_2)=2πR[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]πR+πr_1+πr_2=π(R+r_1+r_2)=2πR[/tex3]

Logo, os dois perímetros são iguais.